problème sur une preuve du cours

Yop0

Bonjour,

Je bloque sur un point d'une démo d'un cours.

Je veux montrer que $$d_a(fg)=f(a)d_a(g)+g(a)d_a(f)$$

Preuve :

$fg$ est la composé : $x->(f(x),g(x))->f(x).g(x)$ respectivement de $U$ dans $\R \times \R$ puis dans $\R$

On note $\Delta$ l'application qui à $x$ dans $U$ associe $(f(x),g(x))$ dans $\R \times \R$ et $\mu$ l'application qui à $(f(x),g(x))$ dans $\R \times \R$ associe $f(x).g(x)$ dans $\R$

Donc on a : $$d_a(fg)(h)=d_a(\mu o\Delta)(h)=d_{\Delta(a)} \mu o d_a \Delta (h)=d_{f(a),g(a))\mu (d_af(h),d_ag(h))=f(a)d_ag(h)+g(a)d_af(h)$$

D'où vient cette dernière relation ?

Eh bien on a posé précédemment : $$d_{(u,v)} \mu(h_1,h_2)=uh_2+uh_1$$

C'est ça que je ne comprends pas : si on pose cette relation, alors forcément on va trouver le résultat voulu !

Alors est-ce légitime de poser ça ?

Merci

Alain Debreil

Bonjour,

Je bloque sur un point d'une démo d'un cours.
Je veux montrer que $$d_a(fg)=f(a)d_a(g)+g(a)d_a(f)$$ Preuve : $fg$ est la composé : $x\xrightarrow{\Delta} \big(f(x), g(x)\big) \xrightarrow{\mu} f(x).g(x)$ respectivement de $U$ dans $\R \times \R$ puis dans $\R$
En notant $\Delta$ l'application qui à $x \in U$ associe $\big(f(x),g(x)\big) \in \R \times \R$ et $\mu$ l'application qui à $\big(f(x),g(x)\big) \in \R \times \R$ associe $f(x).g(x) \in \R$
Donc on a : $$d_a(fg)(h)=d_a(\mu \circ \Delta)(h)=d_{\Delta(a)} \mu \circ d_a \Delta (h)=d_{(f(a),g(a))}\mu (d_af(h),d_ag(h)) = f(a)d_ag(h)+g(a)d_af(h)$$ D'où vient cette dernière relation ?
Eh bien on a posé précédemment : $$d_{(u,v)} \mu(h_1,h_2) = uh_2+vh_1 $$ C'est ça que je ne comprends pas : si on pose cette relation, alors forcément on va trouver le résultat voulu !
Alors est-ce légitime de poser ça ?

Merci

egoroff

Salut,

Ca on ne le pose pas, on le démontre. Il s'agit de calculer la différentielle de $\mu$, qui n'est autre que la multiplication ($\mu$ comme multiplication). C'est pas trop dur à montrer d'ailleurs.

Yop0

Je suis vraiment trop c**

Merci de votre réponse, et désolé d'avoir crée un post pour si peu !

egoroff

Pas de mal :-)