minimisation, preuve géométrique

brux

bonjour,

j'ai posé un problème à mes élèves de Première S qui consiste à rechercher
les dimensions d'un triangle ABC rectangle en A de périmètre minimal sous la contrainte suivante : AB+AC= 8

En posant $x=AB$ on peut se ramener à déterminer le minimum d'une fonction du second degré.
On trouve, qu'il s'agit du triangle rectangle isocèle rectangle de côté de l'angle droit égal à 4.

Quelqu'un saurait-il en apporter une preuve géométrique ? (je n'ai pas trouvé).

Merci,

brux

bisam

On peut faire une preuve géométrique qui fait intervenir la distance d'un point à une droite.

Voici ce à quoi j'ai pensé :

On fixe B et on définit un point C' et un point C" à la distance 8 de B et tels que le triangle C"BC' soit isocèle rectangle en B.
On fait alors se balader un point A sur le segment [BC']... et on voit immédiatement (par propriété de triangles semblables) que le point C se balade sur le segment [C'C"].
Ensuite, puisque dans le périmètre la distance AB+AC est constante, le périmètre est minimal lorsque la distance BC est minimale, c'est-à-dire lorsque le segment [BC] est orthogonal à [C'C"].
Dans cette situation, A est le milieu de l'hypoténuse du triangle BCC'... et donc AB=AC'=AC=4.

brux

merci bisam, je suis impressionné. je pensais bien qu'il fallait utiliser la distance d'un point à une droite mais j'étais encore loin du compte.

brux

brux

J'ajoute que cela m'intéresserait beaucoup de savoir comment tu as eu l'idée de mettre en place cette configuration avec C' et C''.

Domi

Une autre façon de voir les choses ( pas très éloignée de celle de bisam ) . On considère un carré fixe CDEF de diagonale 8 . On déplace le point A sur la diagonale [EC] et on place le point B de [EF] tel que (AB) soit perpendiculaire à (BC) . Comme AEB est rectangle isocèle AB+AC=8 . BC est minimum quand B=F c'est à dire A est le milieu de [EC] .

Domi

Alain Debreil

un peu plus grand et moins de blanc

bisam

En fait, l'idée m'est venue en faisant le schéma sur Cabri. Le fait que AB+AC soit constant m'a fait penser à placer le point C'... et le point C" est apparu de lui-même en traçant le lieu du point C.

On pouvait aussi remarquer que si on se place dans un repère orthonormé centré en B, avec A sur l'axe des abscisses alors AB+AC=8 peut se traduire par x+y=8 qui est l'équation de la droite (C'C"), ces 2 points étant les intersections avec les axes.