Thm de la double limite
Il s'agit de déterminer la limite de la suite suivante
u(n)=$\sum_{i=0}^{n} (i/n)^n$ avec pour gracieuse indication d'utiliser le théorème de la double limite...et là franchement j'ai du mal à me ratacher au theorème...quelqu'un pourrait il m'aiguiller sur ce problème...? merci d'avance
u(n)=$\sum_{i=0}^{n} (i/n)^n$ avec pour gracieuse indication d'utiliser le théorème de la double limite...et là franchement j'ai du mal à me ratacher au theorème...quelqu'un pourrait il m'aiguiller sur ce problème...? merci d'avance
Réponses
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Je serai toi, je commencerais par faire un changement de variable $k \leftrightarrow n - k$ histoire de faire apparaître des limites connus (rappe : $(1 + a/n)^n$ converge vers $e^a$).
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Ok merci beaucoup Le Furet, ca m'a totalement débloqué... et maintenant je me sens bien con de bloquer sur ce genre d'exo !!!
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Bonjour,
je sors ce topic des grands fonds du forum, mais l'exercice ci-dessus m'intéresse.
Or je n'arrive déséspérément à rien avec. Je ne vois pas du tout comment utiliser le théorème de la double-limite (Je n'ai vraiment pas l'habitude de l'utiliser). Pourriez-vous m'aider. Merci ! -
Pour utiliser le théorème de double limites , il faut faire apparaitre une suite double (avec deux indices) qui convegre uniformément. tu pourras alors permuter les deux indices , et même avoir la propriété :
Si Un,m converge uniformément vers U alors Un,n converge aussi vers U . c'est une astuce qui pourra t'etre utile dans cet exercice
Cordialement -
J'avais eu l'idée de poser $\displaystyle f_n(m)=\sum_{k=0}^m (1-k/n)^n$. Alors, sauf erreur de ma part, on a que $f_n$ converge uniformément vers $\displaystyle f(m)=\sum_{k=0}^m e^{-k}$. Mais pour appliquer le théorème de la double limite, il faut que la limite quand $m \to\infty$ de $f_n(m)$ existe, ce qui n'est pas trop la cas. Donc je suis bloqué.
Et puis si celà marchait, le théorème de la double limite affirme que
$$\lim_{m\to\infty} f(m)= \lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty} f_n(m)$$
Pourquoi aurais-je le droit de prendre $n=m$ ? -
pourquoi tu dis que tu es bloqué ? à ton avis $ lim$$f(m)$ n'existe pas ?
pour le reste , tu as le droit de prendre n=m , car c'est un cas particulier ... essaie d'écrire la définition de l'existence des deux doubles limites, tu verras bien -
Je crois que j'ai compris, il faut rajouter une indicatrice dans ma fonction : $$
f_n(m)=\sum_{k=0}^m (1-k/n)^n Ind_{(k\leq n)}
$$ On a toujours que $f_n$ converge uniformément vers $f$ donnée par $f(m)=\sum_{k=0}^m e^{-k}$
Par le théorème de la double limite, on a que $$
\lim_{n\to\infty} f_n(n) = \lim_{n\to\infty} \lim_{m\to\infty} f_n(m) = \lim_{m\to\infty} f(m)=\frac{1}{1-e}
$$ Une petit simulation scilab me montre que le résultat semble bien être celui-ci ! Merci beaucoup !
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Bonjour!
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