Converge échantillonnée

Yop0

Bonjour,

On considère une fonction continue $f$ de $]0,+\infty[$ dans $\R$. On se donne un sous-ensemble $A$ de $]0,+\infty[$. On suppose que, pour tout $x$ dans $A$, $f(nx)$ converge vers $0$. Cela entraine-t-il la convergence de $f$ vers $0$ ?

C'est un exercice de L1 si $A=]0,+\infty[$ et si on suppose $f$ uniformément continue. C'est un exercice de L2/L3 avec le même $A$ mais sans l'hypothèse d'uniforme continuité.

Quelqu'un sait-il (avec juste la continuité) pour quels sous-ensembles $A$ la convergence est une conséquence des hypothèses ?

(rien d'important, c'est de la simple curiosité)

Yop

Richard André-Jeannin

A={pi} et f(x)=sin(x)

Yop0

Il y a effectivement des $A$ pour lesquels ça ne marche pas. Par exemple tous les $A$ fini ou dénombrable (je l'ai pas rédigé mais j'ai bien l'impression que c'est le cas).

J'espérais en fait une caractérisation de ces $A$.

Ludovic

Je n'ai pas compris comment démontrer élémentairement dans le cas continue. Je me retrouve à devoir utiliser le lemme de Baire : je construis une famille croissante de fermé dont l'union est $A$; l'un d'entre eux est d'intérieur non vide et je conclue. Je me complique sûrement la vie.

Il y a des exemples simples où ça marche comme $A=]0,\epsilon[$ tout simplement parce qu'il implique trivialement que la convergence pour tous les éléments de $]0,+\infty[$.

Yop0

Pour Ludo : je ne connais pas plus simple que Baire dans ces cas là.

Yop0

Rajouter "simple" au bon endroit dans mon dernier message...

Ludovic

Bien, je ne délire donc pas. Mais bon, Baire niveau L2, tu exagères!(même L3, c'est limite) Je veux bien croire que tu connaissais ça à l'époque...

Pour éviter des exemples aussi triviaux que les miens, il faudrait commencer par supposer que si $x \in A$ alors $\forall n \in \N \ nx \in \A$ et aussi, si $x \in \R^{+*}$ et $\exists N \in \N \ \forall n \geq N \ nx \in A$ alors $x\in A$. Disons, dans ces conditions, que $A$ est saturé.

Si $A$ est égale à $\Q^{+*}$, j'ai du mal à voir comment cela ne marche pas.

Question : Si $A$ est saturé et $f$ vérifie la propriété, alors $A$ est dense dans $\R^{+*}$.

Yop0

Ludo. J'exagère un peu effectivement. Disons que c'est d'un bon niveau spé !
Pour ton $A$ je ne comprend pas bien. As-tu considéré l'exemple de la fonction sinus ?

Ludovic

Si $A=]0,\epsilon[$ alors si $x\in\R^{+*}$, il existe $y$ dans $A$ et $m \in \N^*$ tels que $my=x$. Or $f(nx)=f(mny)$. Et $f(ny)$ tend vers $0$, donc $f(nx)$ qui n'est qu'une suite extraite de $f(ny)$ tend vers $0$. J'ai donc obtenu la condition pour tout élément de $\R^{+*}$.

Yop0

OK. En reprenant la preuve avec Baire, on constate en fait qu'il suffit que $A$ soit d'intérieur non vide. C'est plutôt ta dernière question qui me semblait louche.

Pour un contre-exemple avec $A$ l'ensemble des rationnels strictement positif (ou avec n'importe quel ensemble dénombrable), procède par récurrence. Enumère les éléments de $A$ : $a_1,a_2,...$. Construit une première fonction en dent de scie dont le maximum est $1$ et qui vaut $0$ sur $\N^* a_1$. Modifie là à partir de $1$ pour qu'elle vaille $0$ pour les multiples de $a_2$ plus grand que $1$ et ainsi de suite. Fais en sorte que toutes les dents aillent de $0$ à $1$.

Bref, si on la regarde sur un compact, on n'a fait qu'un nombre fini de modifications (ce qui permet de s'assurer de la continuité et du fait que la limsup sera $1$).

Sauf bévue et en ayant conscience de ne pas être très limpide...

Ludovic

Pour le coup des ensembles dénombrables, j'ai bien compris la construction même s'il n'y a pas tous les détails.

Si $A$ est d'intérieur non vide et saturé, il me semble que cela implique que $A=\R^{+*}$.
On suppose $A$ saturé. $U \subset A$ est un intervalle ouvert non vide, alors les ensembles $nU$ ne sont pas disjoints à partir d'un certains rang. Or $nU \subset A$. On voit alors que $A$ contient un voisinage de $+\infty$. Grâce à la deuxième propriété, on en déduit que $A=\R^{+*}$.

Supputations de Ludo :
1) Si je prend $\R^{+*} \setminus E$ où $E=\N$ peut-être $E=\Q$, la propriété doit être vérifiée et l'ensemble est saturé.

2) La réponse est peut-être $A$ doit être un ouvert privé d'un ensemble dénombrable de points.

Yop0

Visiblement tu pars d'une fonction $f$ et tu notes $A$ l'ensemble des $x$ tels que $f(nx)$ converge vers $0$. Tu prétends alors que $A$ est stable pour deux trucs. Tu peux détailler la stabilité pour le deuxième ?

Ludovic

Tu as raison : ma propriété ne convient pas. Ce n'est pas parce qu'à partir d'un certain rang les $nx$ sont dans $A$, que $x$ est dans $A$. Si $f$ est une fonction égale à $1$ en tout point premier et $0$ sur les autres nombres entiers. $1$ serait dans le saturé de $A$ sans que $1$ soit dans $A$. (si $A$ désigne les $x$ tels que $f(nx)$ tend vers $0$.)