Limite de suite

Jimmy

Bonjour,

J'ai montré que les suites suivantes, $A_n$ et $B_n$, convergaient. Je désire à présent montrer que $\lim A_n = lim B_n$, mais je n'y parviens pas.

$A_n= \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k x_k = x_0 - x_1 + ... - x_{2n-1} + x_{2n}$
$B_n= \sum_{k=0}^{2n+1}(-1)^k x_k = x_0 - x_1 + ... + x_{2n} - x_{2n+1}$

Je sais également que la suite $x_n$ converge vers $0$.
Comment feriez-vous?

Merci d'avance.

Glat0

Etudie la difference An-Bn et passe à la limite.

jean lismonde

bonjour

B(n)-A(n)=-x(2n+1) si tu passes à la limite pour n infini :

lim[B(n)-A(n)]=-limx(2n+1)=0

il faut supposer x(n) suite monotone à terme positif convergeant vers 0 à droite

les deux suites A(n) et B(n) sont adjacentes (même limite) et convergentes

exemple pour x(n)=1/n alors la limite commune est ln2

cordialement

Jimmy

Que signifie { \it passer à la limite } exactement? Par exemple, si on a (au hasard) $A_n - B_n = 0$, que cela signifie-t-il de passer à la limite? Petit oubli ...

Glat0

Eh bien tu fais tendre n vers l'infini dans les deux termes de l'égalité
Là tu as An-Bn=x_(2n+1)
Tu sais que An, Bn et x_n convergent donc en faisant tendre n vers l'infini, tu obtiens une égalité sur les limites, ici lim(An) - lin(Bn) = 0.

Jimmy

Est-il possible de répondre à la question sans utiliser les suites adjacentes? En effet, on ne les a pas encore abordées, et je ne suis pas censé les utiliser..

Jimmy

La différence ne tend-elle pas vers $x_1$?

Jimmy

J'ai $\lim (A_n - B_n)=0$ Comment puis-je déduire de là que $\lim \, A_n - \lim \, B_n = 0$?

Richard André-Jeannin

Vous avez dit dans votre premier message que An et Bn convergent. je ne vois pas où est le problème pour lim (An-Bn).

Jimmy

Je n'ai pas de problème pour $\lim \, (A_n - B_n)$, seulement il faut que j'arrive à $\lim \, A_n = \lim \, B_n$, donc il me faudrait $\lim A_n - \lim \, B_n =0$, et moi j'ai $\lim \, (A_n - B_n)=0$. Pourquoi (comment?) peut-on passer de l'un à l'autre?

bisam

Ne sais-tu pas que :
Si (un) et (vn) convergent alors (a.un+b.vn) converge et lim(a.un+b.vn) = a.lim(un)+b.lim(vn) ?

[Ajouté le "Si" conformément à ton indication. AD]

Jimmy

Je sais déjà que $A_n$ et $B_$ convergent...!

bisam

Il manque un "si" dans ce que j'ai dit... "si (un) et (vn) convergent, alors..."

Sigma

Je pense que Jimme lit un peu vite les messages qu'on lui envoie...
Tu sais que $A_n$ et $B_n$ convergent, donc {\bf{par théorème}},

$$
\lim (A_n - B_n)= \lim A_n - \lim B_n
$$
C'est tout.

Jimmy

Prouvons-le! :-)