mon 5000ème

borde

Bonjour,

Afin de "fêter" mon 5000ème message sur ce forum (en fait, ce n'est pas tout à fait le 5000ème...), je vous propose deux exercices d'arithmétique. J'ai hésité entre des exercices utilisant des connaissances spécifiques (en particulier en théorie analytique ou algébrique des nombes) ou des exercices de théorie classique des nombres.

Mon choix s'est finalement porté sur ce dernier cas :

{\bf Exercice 1} (assez facile). Soit $a,b \geqslant 1$ deux entiers tels que $a^2 + 2b$ soit un carré parfait. Montrer que $a^2 + b$ est une somme de deux carrés parfaits.

{\bf Exercice 2} (assez difficile). Dans toute la suite, le mot "diviseur" signifie "diviseur positif".

{\bf Déf}. Soit $n \geqslant 1$ un entier, et $d$ un diviseur de $n$.

(i) On dit que $d$ est un diviseur {\bf unitaire} de $n$ si $\mbox {pgcd} (d,n/d) = 1$. On note $\mbox {pgcd}^{*} (m,n)$ le plus grand diviseur commun unitaire de $m$ et $n$.

(ii) On dit que $d$ est un diviseur {\bf bi-unitaire} de $n$ si $\mbox {pgcd}^{*} (d,n/d) = 1$ (on peut généraliser ainsi de suite...).

On note $\omega(n)$ le nombre de facteurs premiers distincts de $n$, et $\tau(n)$ (resp. $\tau^{*}(n)$, $\tau^{\mbox {b}}(n)$) le nombre de diviseurs (resp. diviseurs unitaires, bi-unitaires) de $n$. On pourra utiliser le fait que les fonctions $\tau^{*}(n)$ et $\tau^{\mbox {b}}(n)$ sont multiplicatives.

1°. Expliquer pourquoi $\mbox {pgcd}^{*} (m,n)$ divise $\mbox {pgcd} (m,n)$. Calculer $\mbox {pgcd}^{*} (240,130)$.

2°. Montrer que $\tau^{*}(n) = 2^{\omega(n)}$.

3°. Montrer que, si la décomposition canonique de $n$ est donnée par $n = p_1^{a_1} ... p_r^{a_r}p_{r+1}^{b_{r+1}}...p_{r+s}^{b_{r+s}}$ où les $a_i$ sont pairs et les $b_j$ sont impairs, alors $\tau^{\mbox {b}}(n) = a_1...a_r (b_{r+1} + 1) ... (b_{r+s} + 1)$.

Borde.

bs1

Félicitations.
Heureux anniversaire et excellente continuation .
C'est un plaisir intellectuel sans cesse renouvelé de te lire régulièrement.
bs

Richard André-Jeannin

Salut Borde.
Si b=2a+2, on a: a²+2b=(a+2)² et a²+b=(a+1)²+1²
C'est déjà un début.

Richard André-Jeannin

Par ailleurs, en regardant modulo 4, on voit que b pair.

bosio frederic0

Pour le premier, il semble que la formule $\frac{u^2 + v^2 }{2} = \frac{u+v}{2}^2 + \frac{u-v}{2}^2 $ est tres utile.

Sigma

Si $a^2+2b=m^2$ alors $a^2+b=a^2+\frac{1}{2}(m^2-a^2)$, d'où:

$$
a^2+b=\frac{1}{2}(m^2+a^2)
$$

Bon c'est pas ça mais c'est peut être une piste....

Yalcin

oui sigma tu as une bonne piste que j'ai fait su rma feuille
en utilisant la piste donnée par bosio frédérick, on obtient :

a²+b=((m+a)/2)²+((m-a)/2)² , or 2b=0[2] ,donc m²-a²=0[2]

donc m et a ont la même parité, donc 2|m+a et 2|m-a , donc (m+a)/2 entier et (m-a)/2 entier , d'où a²+b est bien une somme de deux carrés parfaits :-)

trolleybus

a²+2b=A² => b=(A²-a²)/2

a²+b=a²+(A²-a²)/2=(a²+A²)/2

Je sais que ce n'est pas le resultat demandé mais presque :P

trolleybus

$(\frac{x+y}{2})^2+(\frac{x-y}{2})^2=\frac{x^2+y^2}{2}$

comme deja mentionné.

Il ne reste plus qu'à voir pourquoi A+a et A-a sont pairs :P

trolleybus

A²-a²=2b donc (A-a)(A+a)=2b ce qui veut dire que A-a ou A+a est pair
Mais si l'un est pair l autre l est egalement.
Pour que l un soit pair il faut que cela soit une somme (une difference) de nombre pairs ou de nombres impairs)

bs1

pour le second,
1) Les diviseurs unitaires de 130 sont :2,5,10,13,26,65.
parmi ceux-ci , seuls 2, 5, 10 sont des diviseurs de 240; et seul 5 est diviseur unitaire de 240.
On a donc :pgcd* (130,240)= 5

trolleybus

On sait qu'il existe u,v entiers tels que $un+vm=pgcd(n,m)$
Un diviseur unitaire de n et m divise n et m il divise donc pgcd(n,m).
$pgcd^*(n,m)$ etant le plus grand des diviseurs unitaires il divise donc aussi $pgcd(n,m)$.

Richard André-Jeannin

Voici une famille plus large de solutions:
b=2k(a+k), avec k>=0
a²+2b=(a+2k)²
a²+b=k²+(a+k)².

Richard André-Jeannin

Supposons a²+2b=x². On a x=a+m, avec m>=0, ce qui entraîne:
2b=2am+m², donc m est pair, m=2k et:
b=2ak+2k²=2k(a+k)
a²+2b=(a+2k)²
a²+b=a²+2ak+2k²=(a+k)²+k².

bs1

un oubli: 1 et 130, sont également diviseurs unitaires de 130.
Donc 130=2.5.13 posséde effectivement $2^3=8$ diviseurs unitaires qui sont :1,2,5,10,13,26,65,130 avec $\omega (130)=3$.

borde

Super ! J'aime quand ces exos suscitent tant de réponses...

Un grand merci à {\bf tous} les participants, ceux qui répondent comme à ceux qui cherchent sans nécessairement envoyer leur solution.

Il faut savoir que je suis en train de concevoir un sujet plus large sur les diviseurs unitaires et bi-unitaires, à destination des élèves de terminale S spécialité maths.

Il faut savoir également que l'étude des fonctions arithmétiques unitairement analogues à leurs consoeurs (il existe les fonctions $\tau^{*}$, $\varphi^{*}$, $\sigma_k^{*}$, etc. analogues aux $\tau$, $\varphi$, $\sigma_k$ bien connues, bref, toutes les fonctions définies par produit de convolution de Dirichlet ont leurs analogues unitaires en rajoutant la contrainte $\mbox {pgcd}(d,n/d) = 1$) sont régulièrement étudiées par des arithméticiens, comme par exemple J. Sandor.

L'étude des diviseurs unitaires fait apparaître de grandes différences par rapport aux diviseurs "normaux", essentiellement en vertu du fait qu'il n'existe pas de "division euclidienne unitaire" (par exemple, l'identité $\mbox {pgcd}^{*} (ka,kb) = k \times \mbox {pgcd}^{*} (a,b)$ est fausse, ce qui est assez embêtant...).

C'est la raison pour laquelle j'ai pensé à en faire un sujet de DS pour les terminales S spé et/ou les CPGE/étudiants de L1...et à le faire tester ici en avant-première !

Bonne recherche,

Borde.

M M

Bonjour,

2) Si les nombres premiers $p_i$ aux exposants $\alpha_i$ sont facteurs de $n$: On montre que les diviseurs unitaires de $n$ sont des produits des facteurs $p_i$ à des exposants nuls ou égaux aus $\alpha_i$.

En effet, les $p_i$ étant premiers entre eux, de tels diviseurs de $n$ sont unitaires.

Réciproquement, si: $d|n$
$d = p_j^{a_j}*q$, $q$ premier avec $p_j$ divisant $n$, $0

trolleybus

Je vais poser une question bête mais
que vaut $ \tau^{*}(p^k)$? p premier, k entier>0

J ai l'impression que le seul diviseur unitaire de $p^k$ est lui-même
donc $ \tau^{*}(p^k)$ serait egal à 1 et non pas à 2.
Quel diviseur unitaire j ai oublié?

bs1

pour le 2), par récurrence sur le nombre de facteurs premiers entrant dans la décomposition canonique de n;

initialisation: soit n possédant un seul facteur premier ,si $n=a^q$, les deux seuls diviseurs unitaires sont 1 et$a^q$;donc $\tau {*}(n)=2=2^{\omega (n)}$ car$\omega(n)=1$.
hérédité : soit n possédant q facteurs premiers distincts =$n_1,....,n_q$ dans sa décomposition en facteurs premiers; considérons alors$ m=n.b^r$, avec b distinct de$n_1,...,n_q$
montrons que $\tau *(m)=\tau*(n) .2$
Je finirai plus tard,si c'est une bonne méthode.

trolleybus

J ai rien dit :P
j ai mal retenu la definition :P
Le diviseur unitaire manquant est 1 bien sur d'où si l on sait que la fonction
$ \tau^{*}$ est multiplicative on a la formule du 2)

trolleybus

En résumé:
Si $n=\prod_{i=1}^{w(n)} p_i^{n_i}$ les $p_i$ sont distincts et premiers

$\tau^{*}(n)=\prod_{i=1}^{w(n)} \tau^{*}(p_i^{n_i})$
la fonction $\tau^{*}$ étant multiplicative.
On se ramene donc au cas $n=p^k$

Et les seuls diviseurs unitaires de $p^k$ , k entier >0
sont 1 et $p^k$ lui-même. Les diviseurs de $p^k$ sont $1$,$p$,...$p^k$
et pour 00
donc:

$\tau^{*}(p^k)=2^{w(p^k)}$

Ainsi:
$\tau^{*}(n)=\prod_{i=1}^{w(n)} \tau^{*}(p_i^{n_i})=\prod_{i=1}^{w(n)} 2=2^{w(n)}$

galax1

bonjour ,

En jouant un peu avec l'exercice 1 je constate que
4²=2² + 2*6 et 2²+ 6 = 10 = 1² +3² et j'observe que 1 + 3 = 4
5²= 1²+ 2*12 et 1²+ 12 = 13 = 2²+ 3² et 2 + 3 = 5
5²= 3²+ 2*8 et 3² + 8 = 17 = 1² + 4² et 1 + 4 + 5
et tous mes essais me donnent pour a²+2b=A²
que a²+b = c² + d² avec c+ d = A.
Il suffit constater par ex. que c = (a + A)/2 et d = (A - a)/ 2 convient


ce qui montre un autre chemin plus ludique pour arriver vers la solution de Yalcin

Sincèrement,

Galax

Yalcin

oui galax

trolleybus

Petits programmes GP PARI:

Pour calculer les diviseurs unitaires d'un nombre:

n=130
d=divisors(n)
l=length(d)
for(i=1,l,if(gcd(d[ i],n/d[ i])==1,print("diviseur unitaire:", d[ i])))

Pour calculer les diviseurs unitaires communs de deux nombres :

n=240
m=130
d=divisors(gcd(n,m))
l=length(d)
for(i=1,l,if(gcd(d[ i],n/d[ i])==1,if(gcd(d[ i],m/d[ i])==1,print("diviseur unitaire commun:",d[ i]))))

fabien

Bravo Borde. J'espère que le forum recevra encore beaucoup de tes messages. C'est toujours un plaisir de te lire.

trolleybus

Ah mince c'est mal passé!
<BR>
<BR>Programmes pour GP PARI:
<BR>
<BR>Pour calculer les diviseurs unitaires d'un nombre:
<BR>
<BR>n=130
<BR>d=divisors(n)
<BR>l=length(d)
<BR>for(i=1,l,if(gcd(d,n/d)==1,print("diviseur unitaire:",d)))
<BR>
<BR>Pour calculer les diviseurs unitaires communs de deux nombres:
<BR>
<BR>n=240
<BR>m=130
<BR>d=divisors(gcd(n,m))
<BR>l=length(d)
<BR>for(i=1,l,if(gcd(d,n/d)==1,if(gcd(d,m/d)==1,print("diviseur unitaire commun:",d))))<BR>

borde

Vraiment, tout a été superbement dit, avecen prime des algos sous PARI de Trolleybus (qu'il en soit remercié).

Quelques remarques sur l'exo 2.

(1) Evidemment, $1$ et $n$ sont diviseurs unitaires et bi-unitaires de $n$ (ne pas les oublier...).

(2) Le caractère multiplicatif des fonctions arithmétiques $\tau^{*}$ et $\tau^{\flat}$ aurait pu également insiter à regarder ce qui se passe d'abord pour les puissances de nombres premiers (comme l'a fait Trolleybus), ce qui est plus simple : je vous laisse vérifier que :

(2.1) Les diviseurs unitaires de $p^a$ sont $1$ et $p^a$ comme cela a été dit par bs plus haut,

(2.2) Les diviseurs bi-unitaires de $p^a$ sont :

$1,p,p^2,...,p^a$ si $a$ est impair,
$1,p,p^2,...,p^a$ {\bf sauf} $p^{a/2}$ si $a$ est pair.

Ces deux propositions donnent immédiatement par multiplicativité les identités :

$\tau^{*}(n) = 2^{\omega(n)}$,

$\displaystyle {\tau^{\flat} (n) = \prod_{a_i \, \mbox {pairs}} a_i \prod_{a_i \mbox {impais}} (a_i+1)}$.

(3) Il n'a certainement pas échappé aux virtuoses que vous êtes que $\tau^{*}(n)$ est aussi égal aux nombre de diviseurs $2-$libres (cad sans facteur carré) de $n$, et que l'équation $\tau^{*}(n) = \tau(n)$ est précisément vraie si et seulement si $n$ est sans facteur carré.

(4) Enfin, dans un esprit plus théorie analytique des nombres, on montre par différente techniques que : $$ \sum_{n \leqslant x} \tau^{*}(n) = \frac {x \ln x}{\zeta(2)} + O(x),$$ avec des termes d'erreurs parfois plus précis.

Je tiens à remercier chaleureusement tous ceux qui ont participé, d'une façon ou d'une autre, à cet échange !! Merci en particulier à RAJ, Frédéric B, Yalcin, Sigma, Trolleybus, bs, MM, Fabien, Galax,...

A +

Borde.

borde

Un dernier mot, peut-être...

Pour ceux qui disposent du calculateur PARI (et en complément de ce qu'a dit Trolleybus), la fonction simple suivante donne tous les diviseurs unitaires d'un entier $n$ : $$f(n) = \mbox{fordiv} \left ( n, \, d, \, \mbox {if} (\gcd(d,n/d)-1,\, 0, \, \mbox {print} (d) ) \right ).

Borde.

borde

Un dernier mot, peut-être...

Pour ceux qui disposent du calculateur PARI (et en complément de ce qu'a dit Trolleybus), la fonction simple suivante donne tous les diviseurs unitaires d'un entier $n$ : $$f(n) = \mbox{fordiv} \left ( n, \, d, \, \mbox {if} (\gcd(d,n/d)-1,\, 0, \, \mbox {print} (d) ) \right ).$$

Borde.

trolleybus

Pendant qu'on parle de PARI comment fait on pour faire des doubles tests?
Comme en C, par exemple (si je me souviens bien): if(a>=1 && b<=5)

Le seul "tutorial" que j'ai pu trouver n'est pas formidable

borde

Essaie
<BR><IMG WIDTH="226" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/3/100730/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle \mbox {if} ( a \geqslant 1,...,... ) \times \mbox {if} (b \leqslant 5,...,...).^ $">
<BR>Borde<BR>

Alain Debreil

Essaie $$\mbox {if} ( a \geqslant 1,...,... ) \times \mbox {if} (b \leqslant 5,...,...).^ $$ Borde

Sylvain

Je profite du fait d'avoir enfin récupéré mon PC (le jour de mes 25 ans, beau cadeau d'anniversaire non ?) pour te remercier et te féliciter Olivier ! ça me fait penser qu'il faudrait que je t'envoie un de ces jours mon exemplaire de "Thèmes d'arithmétique" pour que tu le dédicaces....

Au plaisir de te lire,

Sylvain

borde

Quand tu le souhaites, je suis toujours prêt :-)

Bon anniversaire,

Borde.

Sylvain

Merci ! :-)

gilbert l

bonjour
pour le 1) je pense que borde fait référence aux triplets pythagoriciens avec sa formule.

si $a^2+2b=z^2$
alors b est un demi carré!

il existe u et v deux carrés parfaits tel que:
$2uv$ = 2b ; soit (u v) = b, qui est un carré parfait!

donc $u^2-v^2=a$

d'où: u² + v² = z

soit la solution:
(u²- v²)² + ( 2uv)² = (u² + v²)²

a² + b est bien une somme de deux carrés parfaits! $u$ et $v$ sont deux carrés parfaits quelconques de parités différentes.

gilbert l

je pense que je fais une érreur de raisonnement
car en disant que b est un demi carré est contraire à la réponse :

montrer que a² et b sont deux carrés parfaits

en définitive: 2b = (2uv)² d'où racine carrée = 2uv
or si a² + 2b, soit un carré parfait: z²

avec b carré parfait, ainsi que a² comment z²- a²= un demi carré parfait ????

gilbert l

donc la seule solution serait celle de RAJ avec:
a =1
b=2a + 2 = 4
d'où a² + 2b = 9 = (a +2)²
alors a² + b est la somme de deux carrés parfaits! bravo Raj.

(une équation de fermat pour N = 1)
(il existe deux réels $u$ et $v$....etc)

Yann

Merci Borde pour ton magnifique travail !
Je suis en train de lire ton livre mais entre mes cours, le master 2 à préparer et tout un tas d'autres activités, il me reste peu de temps...
Je pense que l'expérience et le recul apportent beaucoup à la maturation des idées mathématiques. Enfin ça m'aide à optimiser !!

borde

Merci pour ton intérêt pour ce travail. Et je suis entièrement d'accord avec ton propos : "Je pense que l'expérience et le recul apportent beaucoup à la maturation des idées mathématiques". Je n'aurais pu écrire un tel livre il y a 10 ans...

Bon courage pour ton M2, et il en faut, en particulier lorsque l'on est en activité, car celle-ci nous pompe l'énergie dont on a besoin pour travailler les cours, surtout ceux du niveau DEA, qui demandent une grande concentration, entre autres !

Borde.