Une idée...?

Je vous propose un petit sujet original, du moins il me semble, pour lequel j'ai hélàs peu d'idée:

Calculer la partie entière de $\sum_{k=1}^{10^9}$ $\frac {ln(k)}{sqrt{k}}$...

Réponses

  • Bonsoir

    Un développement asymptotique fait l'affaire en utilisant la formule d'Euler Maclaurin je crois
  • bonjour

    tu peux approximer ta somme algébrique par une intégrale :

    intégrale de 1 à p de lnx.dx/rac(x) approchée par 2(lnp - 2)rac(p)

    pour p=10^9 tu trouves 1 184 163

    il s'agit simplement d'une estimation (entière) de ta somme

    cordialement
  • oui avec les intégrales ça marche aussi
    tu dis : soit x un réel appartenant à [k,k+1[, et en utilisant la fonction x-->ln(x)/rac(x) et en utilisant le fait qu'une primitive de x-->ln(x)/rac(x) est 2rac(x)(ln(x)-2) ,d'où la réponse
  • Bonjour,

    cette fois-ci, je ne suis pas tout à fait d'accord avec Jean Lismonde et Yalcin.
    Par exemple, pour 10^9, je trouve 1184167 (et non pas 1184163)
    L'explication me semble être la suivante:
    D'accord pour l'utilisation d'intégrales, non pour un calcul direct, mais pour réaliser un encadrement du résultat, ce qui permet d'évaluer la plage d'incertitude.
    Pour trouver la partie entière, il faut que cette plage soit assez étroite pour qu'elle prète pas à hésitations entre plusieurs entiers consécutifs.
    Il s'avère que l'intégration de 1 à 10^9 conduit à une fourchette bien trop large (de plusieurs unités).
    Il faut donc effectuer d'abord une somme (par des additions) sur une première partie de la série, puis un encadrement par deux intégrales pour les termes suivants.
    De cette façon, on trouve par exemple que la somme en question (jusqu'à 10^9) est comprise entre 1184167,2220 et 1.184167,23525 d'où la valeur entière obtenue avec certitude.
  • bonjour JJ

    d'accord avec ton raisonnement; moi-même j'ai pris la précaution de dire qu'il ne s'agissait que d'une estimation de la partie entière

    pour ce qui est de la somme calculée directement avant l'encadrement par deux intégrales tu es monté jusqu'à quelle valeur de k?

    amitiés
  • Bonjour Jean Lismonde,

    l'exemple numérique de mon post précédent était fait avec une première somme de 1 à m=10^6 dans le but de montrer le cas d'une fourchette très étroite.
    Mais il n'y avait pas besoin d'aller si loin. On peut d'ailleurs calculer la largeur de la fourchette avant même de faire le calcul de la somme (différence très simple entre les intégrales définies). On trouve par exemple les largeurs suivantes :
    0,013 pour m=10^6
    0,036 pour m=10^5
    0,091 pour m=10^4
    0,218 pour m=1000 : résultat compris entre 1184167,119 et 1184167,337
    0,461 pour m=100 : résultat compris entre 1184166,998 et 1184167,459
    Il n'y avait pas lieu d'aller jusqu'à 10^6. Jusqu'à 100 seulement aurait suffit.
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