Les trucs et astuces...

Ludovic

Il y a eu régulièrement des débats sur le niveau moyen des élèves de lycée, de collège, de licence, etc... Beaucoup s'alarment du niveau moyen en baisse. J'ai déjà signalé (ça reste mon humble avis) que l'enseignement tel qu'il est effectué actuellement est trop axé sur une accumulation de méthodes au détriment d'une vraie méthodologie. Il faut avoir de la méthode plutôt que d'appliquer seulement des méthodes. Satisfaire cette exigence semble bien difficile tant le système privilégie la réussite aux examens coûte que coûte et son sacro-saint taux de réussite, tant la pression des élèves et des parents est forte,... La conséquence de tout cela, c'est également que les élèves n'adhèrent pas à d'autres exigences satellites fondamentales comme la rigueur, la compréhension des notions et des calculs... Le leitmotiv est "Il faut savoir appliquer les bonnes astuces au bon moment". J'enseigne actuellement à la fac et j'observe que connaître ses définitions est presque optionnel, savoir démontrer un résultat élémentaire de cours aussi. Finalement, les bons élèves apprennent des dizaines d'astuces et les plus mauvais sont simplement perdus devant cet amas de bidouillages (of course, caricature inside). Ne serait-ce pas un premier pas enviseageable d'arrêter ou de limiter l'usage de ces trucs et astuces ?

Donnons un exemple concret que j'ai rencontré pas plus tard que aujourd'hui :
" Un polynôme du second degré est du signe de a en dehors de ces racines. "
J'ai l'impression que tous les élèves de terminale S de France connaissent cette astuce. J'ai changé de ville cette année et rebelote : ils connaissent tous cette astuce. Je crois que la bonne méthode pour connaître le signe d'un tel polynôme est la factorisation (dans ce cas, si l'objectif est de gagner du temps, rien ne les oblige à perdre du temps à dresser le tableau de signes). Elle a le bon goût de marcher pour n'importe quel polynôme (ce serait bien qu'ils aient tous le réflexe de factoriser les polynômes dont ils connaissent les racines sans avoir besoin de trop réfléchir) et le même principe marche pour n'importe quelle fonction. Vous allez me dire que je préconise une méthode pour remédier à des méthodes. La différence, c'est que la méthode que je propose est beaucoup plus générale et surtout beaucoup plus chargée de sens. Il n'y a pas beaucoup d'efforts à faire pour la comprendre en comparaison de son efficacité et en plus, elle est déjà enseignée.

borde

Si je trouve que le discours que tu tiens me semble être une analyse correcte des phénomènes dans sa globalité, je partage moins ton avis quant à l'exemple choisi.
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<BR>L'étude du signe d'un polynôme du second degré doit rester une affaire de routine (à ce niveau-là, tout du moins...), et ne pas encombrer les cerveaux des élèves de terminales.
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<BR>J'aurais plutôt mis en exemple celui du calcul des dérivées (déjà cité ici il n'y a pas longtemps par un autre intervenant), dont on constate petit à petit que, si les élèves retiennent à peu près bien les formules, peu se souviennent du nombre dérivé et de son interprétation graphique, qui est quand même à l'origine du calcul différentiel bien plus général (lire à ce propos le livre de cours/exercice de L3 de <B>Pham</B>, <I>Calcul différentiel</I>, Masson). Dans cet exemple précis, l'esprit me semble au moins aussi important que la phase calculatoire proprement dite.
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<BR>Borde.<BR>

Ludovic

Je défends mon exemple : je suis d'accord que l'étude du signe d'un polynôme du second degré doit être une routine et je ne suis pas d'accord à la fois sur la non-pertinence de mon exemple. Le problème, c'est la perte de sens. Demandez pourquoi le résultat est vrai et vous verrez que personne ne répond spontanément (en tout cas, ceux que j'ai). Je préconise d'exiger la factorisation : ça ne coûte pas plus cher et le côté routinier n'est en rien altéré. S'il n'y a pas de racines, une petite rédaction de deux lignes, par exemple, accompagnée d'une évaluation en zéro devrait suffire.

D'autre part et ce n'est peut-être pas dans ce cadre que tu portes ton objection, je penses surtout au lycée. Ce qui me pose problème, c'est lorsque j'en demande la démonstration à la fac, j'obtiens soit un silence de plomb soit un désintérêt total (ça, c'est un autre problème).

Ce qui me gêne, c'est qu'une simple astuce devient centrale à leurs yeux.

Au lieu d'apprendre cette astuce, ne vaudrait-il pas mieux montrer en quoi la factorisation d'une fonction permet l'étude de son signe et leur apprendre à factoriser les polynômes lorsqu'ils connaissent une ou plusieurs racines ? Plus exactement, puisque ces deux points doivent toujours faire partie du programme, l'important n'est-il pas de leur montrer comment combiner ces deux notions pour aboutir à l'étude du signe d'un polynôme et, en particulier, ceux de degré 2 ? Cela n'empêche pas de donner en remarque l'astuce (comme simple moyen de vérification).

Ton exemple sur la dérivée est très bon.

GLaG

Mais alors, on peut aussi critiquer le fait que la plupart des étudiants appliquent la "méthode du discriminant" pour trouver les racines : après tout, il s'agit juste de mettre un polynôme sous forme canonique pour déterminer la factorisation (éventuelle)...
Je regrette moi aussi qu'aussi peu d'étudiants se rappellent "d'où vient" cette formule du Delta. Mais faut-il pour autant en exiger une démonstration à chaque fois ?

Eric

Pour revenir sur le premier exemple, je pense que le mal est bien plus profond et remonte bien avant la terminale. Regardez à peu près n'importe quel énoncé du second exercice du brevet des collèges. On donne un polynôme du second degré dans lequel apparait un facteur commun évident. La première question est systématiquement développer et la seconde factoriser !!! Une fois, en 2000 dans la zone Paris-RP, les deux questions ont été inversées ... Comment s'étonner que les élèves n'aient pas le réflèxe de factoriser lorsqu'on les conditionne à résoudre un exercice sans réfléchir simplement parce que l'énoncé du brevet est rédigé depuis trop longtemps par des imbéciles qui ne comprennent pas à quoi servent les calculs qu'ils demandent aux élèves (il parait que ce sont mes collègues ...)
S'il n'y avait que cet exemple, ce ne serait pas si grave mais il se généralise à une grande partie du programme du collège. A quand remonte le dernier vrai problème de géométrie donné au brevet ??? ... Il y a prescription .... Aujourd'hui la géométrie du collège se résume à réciter une litanie devant comporter à un endroit ou à un autre les noms de Pythagore ou Thalès (une chance sur deux, c'est jouable ...), parfois agrémentée du mot réciproque, parfois pas. Aucune réflexion n'est demandée, juste la régurgitation d'un cours ne faisant l'objet d'à peu près aucune démonstration.

Pourquoi s'étonner de ce que ça donne quelques années plus tard ?

Ludovic

Il faut pourtant qu'ils sachent mettre un polynôme de degré deux sous la forme canonique. Sinon, par exemple, il trouve incroyablement dur d'intégrer $\frac{1}{a x^2 +b x +c}$ lorsque le polynôme n'a pas de racine. En plus, l'idée de calcul qui est derrière et plus profonde que le simple calcul de racines d'un polynôme. En effet, il ne s'agit rien d'autre que de faire apparaître un terme que l'on contrôle bien et d'observer ce qu'il reste. C'est un principe très général que l'on applique souvent : calcul de la dérivée d'un produit, calcul de la dérivée d'une composée de fonction et dans d'autres calculs que le calcul de dérivée : la détermination de la nature d'une conique (ça se fait plus au lycée, non?);-)... Si l'idée est de savoir mettre sous la forme canonique pour savoir mettre sous la forme canonique, on a perdu l'occasion de faire assimiler au élève une vraie méthode. J'en reviens à l'idée qu'il faut plus apprendre une méthodologie qu'une accumulation de méthodes.

Je nuance mon propos mais sans le renier : il faut savoir être pragmatique et lacher l'astuce au {\bf bon} moment, i.e. après avoir insisté très lourdement. Ma conviction, c'est que l'on ne peut acquérir une technique de calculs efficace sans une compréhension profonde des concepts sous-jacents. Cependant, il est parfois nécessaire de connaître une technique sans pour autant en maîtriser entièrement les justifications. Tel n'est pas mon propos. Il faut tout de même s'assurer que les concepts sous-jacents sont bien compris (hypothèses, conclusions,...) et, idéalement, que la technique est un intérêt pédagogique. C'est lorsque les justifications sont à portée immédiate de l'élèves qu'il n'est pas acceptable de ne pas donner les justifications et de ne pas exiger qu'ils les connaissent. Donnons un exemple. La division euclidienne est apprise au primaire. Un élève de primaire ne peut comprendre pleinement le mécanisme sous-jacent de la méthode de calcul. Pourtant, le concept de division, la notion de quotient et de reste sont à sa portée : du moins intuitivement. L'algorithme est aussi intéressant pédagogiquement car il demande à l'élève d'améliorer son sens des proportions. On comprend alors l'intérêt de son apprentissage à ce niveau (il me semble que cela est remis en cause et je le condamne fermement). Je trouve regrettable que l'on ne revienne pas, par la suite, régulièrement sur la compréhension technique de cette notion. Je ne crois pas qu'un élève moyen de terminale S et même à un niveau plus élevé sache vraiment la justifier. Je ne suis pas sûr non plus que beaucoup d'élèves comprennent vraiment pourquoi un nombre entier peut s'écrire sous l'une des formes $3n$, $3n+1$ ou $3n+2$ et la généralisation de cette idée, au fond, intuitivement comprise en primaire (j'exagère un peu bien sûr).

dido

Bonjour,

Je suis d'accord avec vous sur le fond, mais le problème ne se résume pas à une sorte d'incompétence ou de manque d'ambition des profs me semble-t-il. Je débute dans le métier, je ne peux donc pas avoir de grande théorie sur le sujet. Mais si je prends mon petit cas personnel (le plus extrême depuis le début de l'année, mais symptomatique de ce qui se passe en général), j'ai tenté de démontrer le "petit " théorème de Thalès avec mes 4 ème ; résultat, presque 3 heures (si si, 3 !!! dont 1 scéance géoplan) extrêmement laborieuse et pénible pour moi, chahut permanant et aucune participation lorsque j'arrivais à les faire taire. J'ai ensuite ramassé les cahiers de cours, environ 1/4 n'avait rien noté du tout , quelques uns avaient à peu près noté la démonstration. Je suis pourtant dans un relativement bon college de centre ville assez riche. J'ai ensuite continué le cours où il s'agissait surtout d'applications faciles de ce fameux théorème, et là, de nouveau le cours s'est bien passé. Il est impossible de passer autant de temps sur des démonstrations ou toute autre chose qui peut les faire réfléchir ; on a une obligation de programme dont les exigences sont souvent des "savoir faire" et pas toujours des "savoirs". Je ne sais pas d'où vient le mal, mais les profs de collège le subissent aussi.

yenamarre/socrate

Pour beaucoup d'etudiants les mathematiques ne sont qu'un instrument de selection à peu près vide de sens, ou alors à l'esoterisme tel qu'il n'est reservé qu'à des "surhommes".
Dans ce cadre, leur demarche consiste à resoudre l'équation: "comment
obtenir la note minimale ne compromettant pas mes ambitions en fournissant le travail le plus superficiel possible". D'où la chasse aux astuces...

C'est un peu triste, on peut le regretter surtout si l'on a été éveillé aux charmes de cette discipline et que l'on est chargé de l'enseigner, mais c'est un point de vue repandu et cela risque fort de le rester.

dido

Ptite rectification dans mon message, il ne s'agissait pas de la démo du théorème de Thales, mais de celui de la droite des milieux.

Peut-être faudrait-il pouvoir faire des options maths pour les élèves intéressés par les maths dans la scolarité. Certains, ne veulent pas aller plus loin qu'une vision utilitaire de la discipline (et encore, c'est déjà pas si mal), après tout, je ne m'interessais pas non plus fondamentalement à toutes les matières lorsque j'étais au college. En ayant toutes sortes d'élèves dans une même classe, on ennui profondément la majorité lorsqu'on essaye de faire quelques chose d'un peu moins superficiel et finallement on abandonne, et ceux qui pourrait être interessés n'ont pas l'enseignement qu'ils mériteraient. Peut-être qu'ainsi, les étudiants faisant des études de maths seraient plus habitués à voir plus loin que les astuces et seraient plus interessés par un enseignement de qualité.

oumpapah2

bonsoir,

vite fait : une parabole a "le cul en haut" ou "le cul en bas ..
les eleves pigent vite..

Oump