Sujet d'Oral

léo2

Bonsoir,

J'aurai besoin d'un petit coup de main sur ceci;
Il s'agit de montrer que si on f, une fonction C2 intégrable de R+->R
et $\exists M \geq 0$ $\forall x \geq 0$ $abs(f\\\\'(x)) \leq M$

alors f $\longrightarrow 0$ en $\infty$

J'ai d'abord pensé à l'inégalité des accroissements finis mais sans succès...

Tout coupe de pouce sera le bienvenue...

chris26

Si on suppose que f ne tend pas vers 0 en l'infini, il y a un $\epsilon>0$ pour lequel on peut trouver x arbitrairement grand tel que $|f(x)|>\epsilon$. La condition sur la dérivée entraîne que f est uniformément continue, donc cette minoration en entraîne une autre sur $]x-\eta, x+\eta [$ : $|f(t)|>\epsilon /2$, où $\eta$ ne dépend que de $\epsilon$. Il s'ensuit une minoration de l'intégrale $\int_{x-\eta}^{x+\eta} |f(x)|dx$ par $\eta \epsilon$. Ce qui est incompatible avec l'intégrabilité de $f$.

Je n'ai utilisé que partiellement les hypothèses sur f, donc il y a sûrement une autre voie.

chris26

Note pour AD : bien sûr c'est l'hypothèse d'intégrabilité qui est essentielle et sinx n'y satisfait pas. Les accroissements finis ne peuvent être qu'une étape dans la preuve.


[Ah OK, j'avais zappé AD]

Cédric ALLALI

Il me semble que l'hypothèse de majoration de f' sert à montrer que f admet une limite.

Aleg

bonsoir à tous,

cet énoncé me surprend car il est redondant : comme l'a dit Chris, la condition sur $|f'|$ entraîne clairement la continuité uniforme de $f$ sur $[0\,;\,+\infty \,[$, et il est connu (Chris en a redonné une démonstration) que toute fonction uniformément continue telle que $\int_0^{+\infty }f$ converge (donc ça vaut a fortiori si $f$ est intégrable) vérifie $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0$.

Le résultat n'a donc rien à voir avec la dérivation, et cet énoncé me paraît être un nuage de fumée..

léo2

En fait, pour les taupins version PC, l'uniforme continuité n'est PAS au programme...
(sujet tombé l'an dernier à l'X)

Aleg

eh bien voilà.. il aurait fallu nous le dire tout de suite !

léo2

autant pour moi...mais c'est vrai que l'on peut s'inspirer de la démo sur l'uniforme continuité pour prouver le résultat, bien que cela fasse clairement raisonnement "sorti de l'espace"...

Aleg

tu n'as pas à t'excuser, leo, ce n'est pas de ta faute : la responsabilité revient à celui qui a posé l'exo..

Décidément, il n'y a rien de neuf sous le soleil de certaines Ecoles...
Prenez un vieil énoncé bien classique et, hop, quelques coups de ciseaux pour le contraindre à rentrer dans le programme.. et voilà un exerccie à peu de frais...

Le problème est que je ne comprends toujours pas ce que vient faire la classe $C^2$ là-dedans..
Leo, essaye de reprendre l'argument de Chris et remplace l'argument de continuité uniforme par le caractère lipschitzien de $f$.

Toto.le.zero

je trouve surtout cela d'une malhonneté incroyable ce genre d'oraux.

chris26

Peut-être qu'il y a une preuve calculatoire avec une IPP ou bien Cauchy-Schwarz que sais-je. Un truc bien lisse pour les gens qui ont des problèmes avec les epsilon.
J'ai vaguement essayé, mais sans succès.

léo2

en fait j'arrive à peu près m'en sortir à coup d'epsilon, mais c'est tellement plus moche et lourd qu'avec la continuité uniforme...

Enfin bon, remarquons que pour l'X/Ens, je pense (?) qu'on t'en veut pas trop si en te posant un tel exo, tu sors légèrement du programme...