fonction de répartition

Laura10

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre ce problème:

on suppose que la durée de vie d'une lampe est une v.a X>0 dont la densité est:
f(x)= (1/a) * e^(-x/a) si x>= 0
0 sinon (avec a>0)

1)determiner la fonction de répartition , l'espérance et l'écart type de la v.a X. Sachant que la durée de vie moyenne d'une lampe est de 2500 heures, en déduire la valeurs du paramètres a. Calculer la probabilité pour qu'une lampe de ce type dure entre 2000 et 3000 heures.
2) calculer la probabilité pour qu'une lampe dure plus de 3000 heures sachant qu'elle a duré plus de 2000 heures.

Voici ce que je propose:
1) pour trouver la fonction de repartition j'ai integré f(x) entre 0 et x et je trouve F(x) = -e^(-x/a) +1
d'autre part on voit que la variable X suit une loi exponentielle de paramètre 1/a on en deduit que E(X)= a V(x)=a² sigma (x)=a
je le deduit à partir des theoremes sur la loi expo mais je crois qu'ici il faut le montrer en partant de la def de l'esperance avec les intégrales mais je ne c'est pas le faire.
je pense que la durée de vie moyenne =E(x)=a=2500

merci à tous pour votre aide
Laura

Richard André-Jeannin

Le calcul de l'espérance et de la variance revient à celui des intégrales:
(intégrale de 0 à +00)x*exp(-x/a)*dx, et:
(intégrale de 0 à +00)x²*exp(-x/a)*dx.
Le calcul est facile en intégrant par parties.

Laura10

Merci pour ton aide mais est ce que ma fonction de repartition est juste ?
Je vois pas tb pour l'integration par parties , on retombe sur le meme résuLtat ?
Est ce que la valeur de a est 2500 ?

Merci à tous pour votre aide laura

Richard André-Jeannin

La valeur de a est bien 2500 et la fonction de répartition est juste. Je ne vois pas ce qui vous bloque dans l'intégration par parties.

Laura10

Merci pour la confirmation. J'ai refait le calcul pour E(x) avec l'intégration par parties et ça marche. Par contre pour V(x) je trouve V(x)= a il faut que je trouve l'erreur.

Richard André-Jeannin

Regardez de près votre calcul. Un "a" a probablement été oublié en cours de route.