valeur absolue et économie

brux

Bonjour,

une élève de première es m'a demandé de but en blanc à quoi servait la fonction valeur absolue. Connaîtriez-vous un exemple de problème "économique" simple faisant intervenir la valeur absolue ?

merci,

bruno

brux

je vais préciser un petit peu. Cette question s'inscrit dans les opérations sur
les fonctions. Connaissez-vous une situation où l'on a besoin, connaissant une fonction $f$, de considérer $|f|$ ?

bruno

Richard André-Jeannin

En général, les variables (prix, quantités, etc. )sont par nature >=0, ainsi que les fonctions (coût, recette). Il n'y a guère que le résultat (=recette-coût) qui peut être <0. Dans ce cas on considère plutôt la valeur absolue ( on parlera d'une perte de 1000 plutôt que d'un résultat de -1000). Mais tout cela ne va pas bien loin.

GERARD

Bonjour.

Pourquoi chercher seulement des exemples "économiques" ? La valeur absolue sert déja souvent en maths ($\sqrt(x^2)$, distance entre deux points sur un axe, $max(a,b) = \frac{a+b}{2} + |\frac{a-b}{2} |$, etc.).

Cordialement

brux

Ton exemple, RAJ, me suffit amplement, merci beaucoup.

Pour Gerard, la question était posée à mon sens dans l'attente d'un exemple concret. Il faut savoir que lorsque j'ai prononcé le mot valeur absolue dans la classe, des soupirs ont commencé à s'élever, la seconde ne leur a pas laissé de bons souvenirs.

bruno

Richard André-Jeannin

On pourrait ajouter l'élasticité, que je noterai e. Les économistes distinguent généralement les deux cas: |e|<1 et |e|>1.

Sigma

Il me semble quand même que l'economie est le royaume des fonctions affines continues par morceaux... Dont on sait que la valeur absolue en est un exemple important.

Par exemple lorsque je prend l'enveloppe convexe d'un nuage de point, je fais appel a un polygone convexe, ie des fonctions affines par morceaux.

Je suis un peu surpris que les exemples ne fusent pas plus que ça. Je dis des aneries ?

GERARD

Salut Brux.

Tu es dans la situation habituelle du matheux face au "à quoi ça sert". Et demander un exemple concret d'application d'un outil abstrait est un moyen, très fréquent chez les élèves, de refuser de travailler au niveau d'abstraction demandé.
La valeur absolue est un exemple parfait de notion "évidente" qui choque certains élèves parce qu'ils veulent que ce soit "concret". Or le concret de la valeur absolue, c'est |3| = 3 et |-2| = 2. Car la valeur absolue n'est pas une chose, mais une notation pour dire "j'enlève le signe". Quoi de plus concret dans le domaine de l'abstrait qu'est le nombre ?
Attention, "appliquer" une notion à la vie courante, c'est la dénaturer (cf Stella Baruk) : La dérivée n'est pas une vitesse, même si elle sert à calculer des vitesses, et si penser à la vitesse permet de comprendre comment on a abstrait la notion de dérivée.
Dans ton cas, je pense que la notion de fonction est bien plus délicate que la notation de valeur absolue. Et je m'interroge sur l'enseignement de seconde qui a rendu compliquée une notion si simple.
Cordialement

brux

salut gérard,

la question était vraiment posée sérieusement, pas sous la forme d'un refus. Ce n'était pas l'habituel "à quoi servent les maths ? " sous entendu, vu que cela ne sert à rien, je ne vois pas pourquoi je travaillerai.
Je pense que de temps en temps il est bon d'expliquer aux élèves que les maths ne sont pas une discipline isolée.

brux

GERARD

Hello Brux.

Dans ce cas, il reste la réponse honnète : " On fait ça comme exercice d'entrainement aux maths, pas pour s'en servir actuellement ou plus tard".
En effet, je n'ai pas souvenir d'avoir utilisé la valeur absolue d'une fonction ailleurs que dans le max de deux fonctions ou dans la "simplification" de la racine carrée du carré. Il y a les exercices artificiels de seconde sur les distance, aussi.
Mais c'est parfois utile d'expliquer aux élèves qu'une partie du programme de maths est faite d'apprentissages formels, pour la dextérité mentale, des gammes, comme les pianistes. Tout ne servira pas, mais la formation intellectuelle obtenue sera utile (et même très nécessaire en économétrie ensuite).

Cordialement

brux

je suis tout à fait d'accord avec ta dernière réponse gérard.

Merci à RAJ et sigma pour leurs contributions. Je vais me décider à regarder ce qu'est l'élasticité... C'est fait dans tous les manuels scolaires, mais de loin cela ne me séduisait pas !

Richard André-Jeannin

Il y a aussi l'écart absolu moyen en stat:
e=(somme de i=1 à n)|xi-xbarre|. Cet indicateur est peu utilisé et peu intéressant du point devue théorique. Il est cependant très intéressant du point de vue pédagogique, car plus intuitif que l'écart-type, auquel il peut servir d'introduction.

Sigma

Tout à fait d'accord avec RAJ. On peut par exemple imaginer un nuage de point (encore!) issu d'une serie de mesures (inflation, croissance...) regressees sur differents parametres. La valeur absolue peut etre utilisee pour minimiser la somme des distances entre le nuage de point et la droite de regression.

Cela permet en outre d'etablir le lien entre la notion de valeur absolue et la notion de distance.

@+

Richard André-Jeannin

L'élasticité se définit simplement. Si y=f(x), on a dy=y'dx, ce qui exprime la variaion absolue de y en fonction de la variation absolue de x. Les économistes préfèrent des variations en pourcentage. De la formule précédente, on déduit, en posant e(x)=xy'/y
dy/y=e(x)dx/x, qui exprime la variation de y en pourcentage, en fonction de la variation de x en pourcentage.
Par exemple, les fonctions à élasticité constante sont les fonctions puissances y=k*x^a (pour lesquelles e(x)=a).

jean lismonde

bonsoir

dans les exercices économétriques on est amené à calculer un bénéfice en fonction de x volume de la production
avec CA(x) chiffre d'affaire et CT(x) coût total :

B(x)=CA(x) - CT(x)

pour certaines valeurs de x ce bénéfice devient négatif, il convient alors pour un intervalle donné pour x de minimiser la valeur absolue du bénéfice

cordialement

Richard André-Jeannin

Bonsoir, Jean. Les grands esprits se rencontrent. J'ai écrit la même chose il y a 2 jours. C'est effectivement un cas ou la valeur absolue présente un intérêt. Si le résultat est <0 sur un intervalle, sa valeur absolue représente la perte (exprimée positivement).

Patrix

La valeur absolue peut servir à rendre moins lourds certains énoncés mathématiques.

Exemple :

Soit k un réel et u un vecteur alors ll ku ll = lkl x ll u ll

Grâce à la valeur absolue, on évite la distinction des cas k>=0 et k<0