Matrices semblables

serre

Bonjour, j'aimerais savoir s'il existe un théorème d'algèbre linéaire qui donne des conditions pour qu'une matrice quelconque carrée soit semblable à une matrice symétrique...cela me semble interessant comme résultat car cela donne à posteriori un aspect qualitatif sur les valeurs propres d'une matrice quelconque carrée.
On connait l'aspect qualitatif des valeurs propres d'une matrice SDP [Symétrique Définie Positive] par exemple, je me demande s'il existe par exemple une genre de réciproque qui dit qu'une matrice qui possède que des valeurs propres réelles est semblable à une matrice symétrique....
Je n'ai jamais trouvé cette problématique dans la bibliographie et je n'ai pas spécialement envie de me lancer dans une démonstration ou construction de condition suffisante sur les coefficients matriciels si le résultat existe déjà..!

Merci d'avance

ryo

En tout cas pour qu'une matrice réelle ait une chance d'être symétrique dans une bonne base, elle se doit d'être diagonalisable

Alain Debreil

Bonjour Serre et Ryo
Et la réciproque marche :
Si une matrice est diagonalisable, elle est semblable à une matrice symétrique (la matrice diagonale elle-même).

Alain

pat4

On peut aussi demontrer que toute matrice reelle est le produit de deux matrices symetriques reelles

serre

vous voulez faire allusion à la décomposition LDL transposée je suppose...c'est une idée mais en fait je cherche à construire une matrice symétrique à structure pleine sans passer par la diagonalisation et qui lui soit SEMBLABLE (cad qu'il existe une matrice de passage P telle que A=PSP(-1) avec S symétrique) car c'est justement pour éviter de considérer les valeurs propres (qui constitue un problème peu évident dans la pratique) .

oumpapah2

bonsoir,

toute matrice carrée complexe est semblable à une matrice symetrique..

( démontré sur ce site il y qq lunes ..par probaloser and co )

Oump

serre

je ne trouve pas le lien pour voir la démonstration qui m'interesse...

dSP0

@ pat : sur n'importe quel corps, toute matrice est produit de deux matrices
symétriques.

oumpapah2

Bonsoir,

cf message de Bob du 10-29-04 à 13 h 17
<http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=108461&t=108461&gt;

avec moultes contributions dont la principale est d'Algebrogirl (rendons à Cesar..) et aussi des ex explicites lorsque la matrice est nilpotente.

Oump.

corentin

J'ai regardé le lien d'oumpapah, c'est vraiment un joli exercice.
Il y a deux trucs qui m'échappent:
-pourquoi la matrice $M$ convient si on prend $A=I+B$ (dans ce cas, je trouve simplement que le poly minimal divise $X^n$)? Il me semblait qu'il faudrait $\sqrt{I+B}$, défini puisque $B$ est nilpotente.
-que signifie "toutes les formes quadratiques sont équivalentes sur $\C$, pouquoi cela implique t'il l'écriture $P=Q^tQ$? (question de béotien, je ne connais rien aux formes quadratiques)

serre

Merci pour tous ces éléments, maintenant l'intérêt d'avoir démontrer que toute matrice est semblable à une matrice symétrique suivant le corps, on peut en déduire des propriétés intéressantes sur la nature des valeurs propres suivant le corps ... Puisque on sait que les valeurs propres d'une matrice et toutes semblables sont identiques et par ailleurs on sait pas mal de choses sur la nature des racines des matrices symétriques... Voyez-vous où je veux en venir ?

serre

D'ailleurs je me demande si ça ne nous donne pas une nouvelle façon de démontrer le fameux théorème de d'Alembert Gauss par la voie matricielle puisqu'on sait qu'à tout polynôme de degré n on peut lui associer une matrice carrée de taille n avec des 1 sur la première sous diagonale et les coefficients polynomiaux sur la dernière colonne (*) (des zéros pour le reste). Logiquement de surcroît on devrait pouvoir dire que toute matrice est semblable à cette matrice (*). En effet soit une matrice carré quelconque, on calcule le polynôme caractéristique puis à partir du polynôme caractéristique on refabrique la matrice (*) , elles seront donc à priori semblables à condition de trouver le bon ordre des valeurs propres sur la diagonale ou des coefficients de la matirce (*) sur la dernière colonne...

Guego0

dSP : comment montres-tu que toute matrice est produit de deux matrices symétriques ?

serre

Si tu as déjà fait les algorithmes LU, LL(t)... C'est un bon exo de programmation: tu cherches les coeff de S1 et S2 symétriques tels que A=S1*S2. Tu connais les n*n coeff de A, tu dois trouver n(n+1)/2 coeff pour S1 et aussi n(n+1)/2 coeff pour S2 soit en tout n(n+1) mais ça te donne n coeff en trop donc tu peux poser par exemple que S2 est à diagonale unité (par analogie avec la décompo LU). Finalement tu obtient un système de n^2 équations à résoudre. Donc après faut pas faire n'importe quoi et vérifier à quelle condition le système est inversible... C'est un exercice amusant de programmation avec pivot par analogie avec la décomposition de Gauss...

serre

pour prouver l'existence de décomposition de matrice on peut utiliser des méthodes algorithmiques mais c'est assez barbare...!
On préfère en général et on s'en rend compte dans la bibliographie des démos plus algébriques !!!

dSP0

Quelques indications pour prouver que toute matrice est produit de deux matrices symétriques :

(1) Il suffit de le faire pour une matrice compagnon, d'après la réduction
par invariants de similitude.

(2) Pour une matrice compagnon A, il suffit de trouver une
forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur K^n pour laquelle A
est autoadjointe. Il faut écrire les conditions proprement.
Je vous laisse chercher un peu.

La méthode de "serre" m'intrigue : ou bien il s'agit de le faire bêtement,
et les équations en question sont polynomiales du second degré (bof !),
ou bien on cherche S_1 et S_2 telles que AS_1=S_2 avec S_1 inversible, alors
les équations sont bien linéaires, mais il faut s'assurer que S_1 est inversible,
ce qui n'a rien de trivial.

serre

non biensur ma méthode n'est pas la démonstration mais un exo de programmation dans lequel il faut mettre des conditions d'arrêt de l'algorithme car je suis entièrement d'accord que l'inversibilité n'est pas triviale par cette voie algorithmique