Homothéties-transformation vectorielle associée

poutch0

Bonjour à tous

J'étais ce week end en train de préparer la leçon d'oral 1 du capes intitulée : Homothéties-Translations; transformation vectorielle associée. Effet sur l'alignement...

J'ai commencé par définir une homothétie une translation (puis qqs pptés) mais je bloque un peu en arrivant à : Transformation vectorielle associée
En effet après avoir énoncé la propriété fondamentale (si M' est l'image de M par h(O,k) et N' image de N par h(O,k) on a M'N'=k MN (vecteurs)) je ne parviens pas à établir une propriété-définition satisfaisante de la transformation vectorielle associée

Si quelqu'un pouvait éclairer ma lanterne...
Merci d'avance et bonne journée
Cordialement
poutch

bisam

Il faut démontrer que toute homothétie-translation est une fonction affine... et la transformation vectorielle associée n'est autre que la partie vectorielle de celle-ci.

stfj

Soit $E$ un espace vectoriel réel. On appelle homothétie $h$ de centre $a$ et de rapport $k$ l'application $$x\mapsto a+k(x-a)$$C'est une application affine puisque $$h(x)=a-ka+f(x)$$avec $f=k\cdot 1_E$ linéaire.

De même une translation $$x\mapsto x+u$$est affine d'application linéaire associée $1_E$

Une homothétie de rapport $k\neq 1$ a un point fixe $a$. La composée de deux homothéties n'est pas une homothétie dans le cas ou $$kk'=1$$ auquel cas c'est une translation. On a un groupe $H$ composé des homothéties-translations, sous-groupe de $\mathrm{GA}(E)$.

Le traitement dans le cadre des espaces affines $(\mathcal E,E)$ est similaire. Pour plus d'informations, on pourra consulter l'exercice 4 du §3 du chapitre 3 de ce document, p.51

L'activité suggérée par l'illustration ci-dessus est relativement simple à mettre en place au collège et ne saura manquer de frapper de jeunes esprits.

stfj

Reprenant les notations du message original, dans un espace affine $(\mathcal E,E)$, on a $\forall M,N \in \mathcal E, \overrightarrow{h(M)h(N)}=k\cdot 1_E(\overrightarrow{MN})$. On a $k\cdot 1_E\in \mathcal L(E)$. On a très exactement écrit que $h$ est affine d'application linéaire associée $k\cdot 1_E$. (voir au besoin Géométrie, Michèle Audin, définition I.3.1, p.16 ou un manuel de TC des années 80.)

Au collège, on peut réaliser des dessins de solides avec point de fuite. Par exemple, ici, en utilisant l'homothétie vectorielle de rapport $2$Je garantis quelques dizaines de minutes de calme et de travail d'élèves de Cinquième réalisant ainsi les lettres de leurs noms et prénoms en perspective . En Quatrième, des homothéties de rapport $-2 $ permettent d'illustrer l'importance des règles des signes -x-=+