Groupe fondamental

Airy

Bonjours à tous,

Je me remets à bosser de la topologie algébrique, et il me vient cette question. J'avoue n'y avoir pas beaucoup réfléchi.

Un groupe G quelconque donné est il le groupe fondamental d'un espace topologique?

Merci pour les éventuelles réponses.

Mauricio4

Si tu prends $G=\mathbb R$, tu prends quoi comme espace topologique?
M.

Ludovic

Une idée de démonstration :

Je prends un groupe $G$. Je considère l'ensemble $G \times S^1$ avec sur $G$ la topologie discrète et sur $S^1$ la topologie usuelle. Je quotiente cet espace topologique en identifiant une des fibres $G \times \{x\}$ à un point. Cela me donne un espace topologique $S_G$. $\pi_1(S_G)$ est le groupe libre avec pour générateurs une famille indicée par $G$. Je considère le revêtement universel $\pi:S^G \rightarrow S_G$. Je considère le normalisé $N$ des relations de $G$. Ainsi $\pi_1(S_G) / N$ est isomorphe à $G$. Les fibres de $\pi$ s'identifie naturellement à $\pi_1(S_G)$ (cela induit une action de $\pi_1(S_G)$ sur $S^G$ : aïe la j'ai un gros doute). J'en déduit une action de $N$ dans $S^G$. Alors, $S^G / N$ est un espace topologique dont le groupe fondamental est $N$.

Qu'en pensez-vous?

AG0

Hello,

De mon point de vue, ca marche tres bien, et c'est surement la facon la plus simple de proceder. En algebre, on a l'assertion analogue: tout groupe profini s'identifie au groupe de Galois d'une certaine extension galoisienne. Mais ne me demandez pas de condition pour qu'un groupe profini soit groupe de Galois absolu, c'est hors de portee.

Amicalement,

AG.

Airy

Merci pour ces premières réponses.

Je trouve la démarche de Ludovic extrêmement intéressante. Je continuerais à bosser la topo algébrique et la géométrie différentielle ne serait ce que pour bien comprendre la dem de Ludovic (je suis assez fainéant et j'ai souvent besoin de motivation).

Je suis agréablement surpris de constater que cela n'est pas "si" trivial.
A moins que Mauricio n'ait ("hélas") raison...

Airy.

Mauricio4

Ca a l'air de marcher, d'apres Ludovic pour $ R$ tu prends $RxS^1$ que tu pinces en un point et avec la topologie discrete sur $R$. Bon, ca veut dire simplement qu'un espace topologique ca peut etre a peu pres n'importe quoi...
M.

Airy

Oui d'après la réponse, j'ai compris que c'est en fait assez artificiel (je veux dire, l'espace topologique que l'on trouve).

Si j'ai bien compris, c'est du même ordre que de munir un ensemble quelconque d'un structure de groupe.

Cependant, ce qui m'intéresse beaucoup ici, c'est la méthode.

Lorsque je me suis posé cette question, j'espérais que la réponse fut négative.
Cela aurait été extrement (du moins pour moi) éclairant que n'importe quelle structure de groupe ne puisse pas être un groupe fondamental.


Airy.

rouquin

Salut Airy,

Je pense qu'une méthode qui t'intéresserait plus, c'est celle utilisée dans la démonstration que tout groupe de présentation finie est le groupe fondamental d'un CW-complexe de dim 2, qu'on peut j'imagine plonger dans R^4. Là c'est vraiment explicite, on prend un bouquet de cercles et on colle des disques le long des lacets donnant les relations, ce qui annule la classe d'homotopie de ces lacets.

A+

Mauricio4

Quelque exercice basiques de calculs:
Le complementaire d'un point dans R
Le complementaire d'un point dans C
La sphere, le tore, un bouquet de cercles, une surface de genre 2, une surface de genre 2 moins un point, la sphere S^3, R^3 moins une droite.
Le complementaire d'une droite complexe dans C^2
le complementaire de deux droites complexes dans C^2
Dans la plupart des cas, on devine facilement la reponse mais la demonstration est toujours plus delicate.
Mauricio