théorème de Mason

awiles62

Bonjour, j'aimerais mettre à contribution les bonnes âmes du forum.

Voilà, je me souviens avoir vu dans un des Monier la preuve, assez simple si mes souvenirs sont exacts, du Théorème de Mason et de son utilisation pour démontrer le théorème de Fermat appliqué aux polynômes mais impossible de retrouver la démonstration.

J'ai fait quelques petites recherches sur le forum et sur le net mais je n'ai trouvé que des démonstration partielles ou disons plutôt, un peu trop "courtes" pour moi.

Si quelqu'un à le livre en question sous la main, ce serait vraiment sympa d'en poster un scan.

Merci d'avance.

CQFD

On suppose que $A+B+C=0$ où $A,B$ et $C$ sont trois polynomes de $\C[X]$.
On considère $F=\dfrac{A}{C}$ et $G=\dfrac{B}{C}$.; on a $F+G=-1$ et $F'+G'=0$.
En utilisant les écritures scindées de $A,B$ et $C$, on a, avec des notations "évidentes" que $\dfrac{DF'}{F}$ et $\dfrac{DG'}{G}$ sont des polynomes (avec $D=\prod(X-a_{i})\prod(X-b_j}\prod(X-c_k)$).
Par suite $B$ et $A$ divisent $\dfrac{DF'}{F}$ et $\dfrac{DG'}{G}$ resp.
On en déduit le théorème de Mason : $\deg(A)$ et $\deg(B)\le a+b+c-1$ où $a,b$ et $c$ sont les nombres de racines disctinctes de $A,B$ et $C$... on aboutit au même résultat avec $C$.

Le théorème de Fermat pour les polynomes s'en déduit facilement alors.

Eric

On se donne des polynômes $a$, $b$, $c$ premiers entre eux et vérifiant l'égalité $a+b+c=0$. On note $n_0(a)$ le nombre de racines disctinctes de $a$. Le théorème de Mason dit que $\max\{\mathrm{deg}\,a,\mathrm{deg}\,b,\mathrm{deg}\,c\}\leq n_0(abc)-1$.

On pose $f=a/c$ et $g=b/c$. On a donc $f+g+1=0$ et $f'=-g'$. D'où
$$\frac{b}{a}=frac{g}{f}=-\frac{f'/f}{g'/g}.$$

On pose $a(x)=\prod(x-\alpha_i)^{a_i}$, $b(x)=\prod(x-\beta_j)^{b_j}$, $c(x)=\prod(x-\gamma_k)^{c_k}$. Ona alors
\begin{align*}
f'/f&=\sum\frac{a_i}{x-\alpha_i}-\sum\frac{c_k}{x-\gamma_k},\\
g'/g&=\sum\frac{b_j}{x-\beta_j}-\sum\frac{c_k}{x-\gamma_k}.
\end{align*}

Après multiplication par le polynôme $$N_0= \prod(x-\alpha_i)(x-\beta_j)(x-\gamma_k)$$ de degré $n_0(abc)$, les fonctions rationnelles $f'/f$ et $g'/g$ deviennent des polynômes de dégré inférieur ou égal à $n_0(abc)-1$. Puisque que les polynômes $a$ et $b$ sont premiers entre eux, la relation
$$\frac{b}{a}=-\frac{N_0f'/f}{N_0g'/g}$$
implique que chacun des polynômes $a$ et $b$ sont de degré au plus égal à $n_0(abc)-1$. La démonstration se fait de la même façon pour $c$.


A partir de là, on peut traiter facilement le théorème de Davenport.
Si $f$ et $g$ sont des polynômes premiers entre eux et de degré non nul, alors
$$\mathrm{deg}\,(f^3-g^2)\geq\frac{1}{2}\mathrm{deg}\,f+1.$$

Si $\mathrm{deg}\,f^3\neq\mathrm{deg}\,g^2$, alors
$$\mathrm{deg}\,(f^3-g^2)\geq\mathrm{deg}\,(f^3)=3\mathrm{deg}\,f\geq\frac{1}{2}\mathrm{deg}\,f+1.$$
On peut donc supposer que $\mathrm{deg}\,f^3=\mathrm{deg}\,g^2=6k$.
On considère les polynômes $F=f^3$, $G=g^2$ et $H=F-G$. Clairement $\mathrm{deg}\,H\leq6k$. Le théorème de Mason donne
$$\max\{\mathrm{deg}\,F,\mathrm{deg}\,G,\mathrm{deg}\,H\}\leq n_0(FGH)-1\leq\mathrm{deg}\,f+\mathrm{deg}\,g+\mathrm{deg}\,H-1,$$
i.e., $6k\leq2k+3k+\mathrm{deg}\,H-1$. Donc, $\mathrm{deg}\,H\geq k+1=\frac{1}{2}\mathrm{deg}\,f+1$.


On a aussi le théorème de Fermat pour les polynômes.
Si $f$, $g$, $h$ sont premiers entre eux et un au moins n'est pas constant alors la relation
$$f^n+g^n=h^n,\qquad n\in\N^*$$
n'est vérifiée pour aucun $n\geq3$.

D'après le théorème de Mason, le degré de $f^n$, $g^n$ et $h^n$ est inférieur à $\mathrm{deg}\,f+\mathrm{deg}\,g+\mathrm{deg}\,h-1$, i.e.,
$$n\mathrm{deg}\,f,n\mathrm{deg}\,g,n\mathrm{deg}\,h\leq\mathrm{deg}\,f+\mathrm{deg}\,g+\mathrm{deg}\,h-1.$$
En additionnant ces trois inégalités, on obtient
$$n(\mathrm{deg}\,f+\mathrm{deg}\,g+\mathrm{deg}\,h)\leq3(\mathrm{deg}\,f+\mathrm{deg}\,g+\mathrm{deg}\,h)-3

Eric

Merci au modérateur de corriger le petit problème dans la première relation en mettant \frac{g}{f}.

J'ai du oublier l'anti-slash.

awiles62

merci beaucoup à CQFD et à Eric, c'est exactement ce qu'il me fallait.

Alain Debreil

$$ \frac{b}{a}=\frac{g}{f}=-\frac{f'/f}{g'/g}.$$

awiles62

une petite question me vient à l'esprit à propos du "théorème de Fermat" appliqué aux polynômes dont la démonstration découle du théorème de Mason :

Comment ce fait-il qu'elle soit si simple alors que la même démonstration pour les entiers naturels (célèbre théorème de Fermat) soit si compliquée (démonstration de Andrew Wiles faisant intervenir les fonctions modulaires et autres) ?

A quoi cela tient-il qu'il y ait un tel écart de complexité en passant N à C[X] ?

lolo33

Quand on impose une relation sur des fonctions (par exemple des polynômes) c'est comme si on imposait une infinité de valeurs sur des nombres (suffit de prendre des valeurs), donc il est "compréhensible" que les résultats fonctionnels soient plus aisés que les résultats sur des nombres donnés.

Autre exemple: l'application exponentielle est transcendante sur Q(z) et c'est facile, par contre exp(1)= e est transcendant sur Q mais c'est plus compliqué (bien que relativement ancien).

lolo

dSP0

Le théorème de Fermat dans $\C[X]$ peut se démontrer sans utiliser le théorème de Mason, en passant par les racines $n$-ièmes de l'unité.

CQFD

dSP, serait-il possible d'avoir une idée de la démonstration avec les racines n-ièmes ?

dSP0

L'identité $A^n=B^n+C^n$ peut se réécrire $C^n=\underset{ \zeta \in \mathbb{U}_n}{\prod}(A-\zeta $.

En exploitant cela intelligemment quand $A,B,C$ sont premiers entre eux, on peut trouver trois polynômes $A_1,B_1,C_1$ premiers entre eux tels que
$A_1^n=B_1^n+C_1^n$ et $\min(\deg(A_1),\deg(B_1),\deg(C_1))