Séries numériques
Voilà, je voulais savoir pourquoi ma démo sur cet exo est fausse (dixit mon prof de maths):
Il s'agit de montrer que si Un décroissante, et sum(Un) convergente alors on a Un=o(1/n)
ma fausse démo: Soit $\varepsilon\leq0$, $\exists N$/ $\sum_{i=n+1}^{\infty} u_i\leq$$\varepsilon$
et $\forall p \geq N$ $\sum_{i=n}^{\infty} u_i$ $\geq u_n + ...+ u_p$
et $\ u_n + ...+ u_p$ $\geq (p-n+1)u_p$
donc je fais $\forall p \geq 2N$ d'où $\sum_{i=n}^{\infty} u_i$ $\geq (2p)u_p$
enfin $\ 2 pu_p$ $\leq$ $\varepsilon$.
D'où le résultat cherché...
Alors si qqn pouvait m'indiquer mon erreur...j'en serai très reconnaissant!!
Il s'agit de montrer que si Un décroissante, et sum(Un) convergente alors on a Un=o(1/n)
ma fausse démo: Soit $\varepsilon\leq0$, $\exists N$/ $\sum_{i=n+1}^{\infty} u_i\leq$$\varepsilon$
et $\forall p \geq N$ $\sum_{i=n}^{\infty} u_i$ $\geq u_n + ...+ u_p$
et $\ u_n + ...+ u_p$ $\geq (p-n+1)u_p$
donc je fais $\forall p \geq 2N$ d'où $\sum_{i=n}^{\infty} u_i$ $\geq (2p)u_p$
enfin $\ 2 pu_p$ $\leq$ $\varepsilon$.
D'où le résultat cherché...
Alors si qqn pouvait m'indiquer mon erreur...j'en serai très reconnaissant!!
Réponses
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en fait y a pas De N mais seulement des n...désolé...
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Il y a aussi un epsilon <0 (c'est la première fois que j'en vois un) et des sommes qui vont parfois de n à +00, parfois de n+1 à +00.
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oui, faute de frappe (je suis a vrai dire mauvais en Latex...):
le epsilon est bien >0 et j'ai mis finalemenent la somme de n à infty, car je n'arrivais pas a faire en indice (n+1)...
Cependant Richard André-Jeannin, je doute fort que cette seule petite erreur d'indice ait pu vous pertuber ...
Une remarque plus constructive serait la bienvenue... -
J'ai un peu regardé, mon bon, mais après une dure semaine de labeur, j'ai le cerveau qui ressemble à de la sauce blanche.
En tout cas, votre approche est intéressante. Mais revoyez vos notations. C'est mal rédigé. Conservez le N et allez de (n+1) à +00. Cela vous évitera le pénible p-n+1. -
Sur le principe, la démonstration est juste, mais c'est mal rédigé.
Je pense que le passage qui bloque est la justification avec $p\geq 2N$.
Il faudrait que tu explicites quelle partie de la suite tu utilises.
Si on prend ton $u_N+\cdots+u_p$, tu as seulement $Nu_N\leq \varepsilon$ avec $N$ non arbitraire.
Tu dois utiliser la majoration sur $u_p+\cdots+u_{2p-1}$ avec $p\geq N$, (cette somme étant évidemment plus petite que $\sum_{n\geq N}u_n$.
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