Une question idiote ?

ericcc

Bonjour, cette question est peut être idiote, ou déjà explorée, mais elle m'a traversé l'esprit :

La série harmonique somme (1/n) diverge et est équivalente à log(n), avec la constante d'Euler

La série harmonique des premiers somme (1/p) diverge et est équivalente à log(log(n)) avec la constante de Mertens

Existe-t-il des nombres "super premiers" dont la série harmonique serait équivalente à log(log(log(n))), avec un constante bien choisie ?

Une analogie vaseuse avec les particules élémentaires serait de dire que les nombres premiers sont les "particules élémentaires" des nombres, et que l'on rechercherait les quarks des nombres premiers. Pas de référence à Houellebecq please...

SI de tels nombres existent, peut on généraliser et continuer avec des séries équivalentes à log(log......log(n)))) ?

Merci des réponses des spécialistes en arithmétique.

jobherzt

sans etre un specaliste, je pense qu'on peut construire une telle suite "ad hoc", mais quel en serait l'interet ??? ce n'est pas, je ne t'apprends rien, cette propriété deqivalence qui fait l'interet des nombres premierS, et qui leur donne leur statut d'atomes de l'arithmetique.. donc point de quarks en vue !<BR>

ericcc

Oui bien sur on peut construire la suite ad hoc, mais je me posais la question sur une propriété intrinsèque de certains nombres, qui seraient "encore plus premiers que les premiers"

borde

Je ne pense pas que de tels exemples {\it connus} existent...Par exemple, la série des inverses des nombres premiers jumeaux converge.En revanche, et cela se rapproche peut-être plus de ta question, c'est que, si $\mathcal {A}$ est une suite d'entiers {\bf primitive}, alors la somme $\displaystyle {\sum_{a \leqslant x, \, a \in \mathcal {A}} \frac {1}{a} \ll \frac {\ln x}{\sqrt {\ln \ln x}}}$.

Mais ce qui est important justement, et qui me semble sous-jacent à la question d'Ericcc, c'est que cette différence entre les ordres de grandeur des séries est, en quelque sorte, un indicateur de la raréfaction des nombres premiers.

Autre exemple. Le fait que, dans la majoration $\displaystyle {\pi_2(x) \ll \frac{x}{(\ln x)^2}}$, on ait précisément un carré sur le logarithme (carré qui, de ce fait, entraîne la convergence de la série des inverses des nombres premiers jumeaux), a beaucoup intrigué les spécialistes.

Borde.

ericcc

Oui Borde, c'était bien mon idée : on raréfie les nombres, mais il reste toujours assez pour que la série diverge, mais de moins en moins, ou plutôt de plus en plus lentement.

C'est quoi des entiers primitifs ?

...

D'ailleurs, comment montre-t-on que la série de terme général 1/p, p premier diverge ? (niveau spé)

corentin

De façon élémentaire, on peut montrer $cx/log(x)\leq \pi(x)\leq Cx/log(x)$. Il me semble que ça permet de montrer la divergence de la série des $1/p$.
L'idée est d'utiliser les $C_{2n}^n$, en combinaison avec la formule
$ord_p(n!)=\sum_m [\frac{n}{p^m}]$.
Ca fournit $\displaystyle log(C_{2n}^n)=\sum_{p\leq 2n}\sum_m ([\frac{2n}{p^m}]-2[\frac{n}{p^m}])log(p)$.
A partir de cette égalité, on obtient $n\log(2)\leq \log(2n)\pi(2n)$.
(l'inégalité inverse est plus difficile à obtenir, mais aussi élémentaire.

Accessoirement, si quelqu'un connait un bouquin faisant ce type de calculs, ça m'intéresse aussi.

borde

J'ai déjà, à moultes reprises ici, montré la divergence de la serie des inverses des nombres premiers (voir aussi mon livre !...).

Une suite est dite {\it primitive} si aucun élément de cette suite n'en divise un autre.

{\bf Exemples}. La suite des nombres premiers, la suite des entiers de l'intervalle $]N,2N]$ avec $N \geqslant 1$ fixé, la suite des entiers ayant exactement $k$ facteurs premiers distincts ($k$ fixé), etc.

Borde.

corentin

"(voir aussi mon livre !...). "
Et ben voila une raison toute trouvée pour que je le feuillette enfin.

ericcc

Tiré de Wikipedia :

---

Supposons que la série de terme général 1 / pi converge et notons S sa somme. L'inverse de 1- S est bien connu et s'écrit :

$1/(1-S)=1+S+S²+.....+S^q$

Or, un développement direct donne :


$S^q=\sum_{i1,i2...}1/pi_i$

Donc la somme des $S^q$ est la somme de la série harmonique qui diverge. Le terme de gauche est donc infini ce qui contredit notre hypothèse

kilébo

C'est idiot mais je ne comprends pas cela "La série harmonique somme (1/n) diverge et est équivalente à log(n), avec la constante d'Euler"...

borde

Corentin,

c'est page 49...Va voir aussi page 64, corollaire 3.42. Rappelons, à toutes fins utiles, les estimations suivantes que l'on se doit de connaître :

(i) $$\sum_{n \leqslant x} \frac {1}{n} = \ln n + \gamma + O \left ( \frac {1}{x} \right ),$$ avec la constante impliquée dans le terme d'erreur étant $\leqslant 7/12$,

(ii) $$\sum_{p \leqslant x} \frac {1}{p} = \ln \ln x + c + O \left ( \frac {1}{\ln x} \right ),$$ avec $c \approx 0,26 \, 149...$ constante de Mertens.

Borde.

kilébo

Merci Borde pour ce rappel : je ne connaissais pas la deuxième estimation.

Par contre ma remarque était là essentiellement pour pinaller (désolé). Je trouvais gênant que l'on parle d'équivalent à la somme de deux termes qui n'ont pas le même ordre... Même si mathématiquement ce n'est pas faux, cela n'a, à mon avis, pas d'utilité car les constantes pouraient être changées avec n'importe quelle autre...

Lucas6

Bonjour, je comprends rien au message de ericcc (mardi 26, 20h08)

>L'inverse de 1- S est bien connu et s'écrit :
>$ 1/(1-S)=1+S+S²+.....+S^q$

?!

C'est quoi $q$ dans ton équation? Moi la seule chose que je connais c'est
\begin{displaymath}
1+x+x^2+\ldots +x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}
\end{displaymath}
pour n'importe quel $n$.

>Or, un développement direct donne :
>$ S^q=\sum_{i1,i2...}1/pi_i$

Re-?!

Moi j'aurais tendance à dire que $S^q$ c'est la somme des inverses des nombres entiers qui sont produits d'au plus $q$ nombres premiers non? Je comprends rien à l'argument.

Merci de m'éclairer,
Lucas.

bs1

bonjour, puisque le fil est remonté:

La constante de Mertens apparaît dans le livre de Borde au cours de deux formules différentes:

1) celle relative à la somme des inverses des nombres premiers ( message Borde 23h01 , ci-dessus)

2)puis pour la somme des$\omega(n)$ ( pages 130,198)

Cette constante de Mertens (c) apparaît-elle en dehors de la théorie des nombres ? Je pense à $\gamma$ que l'on retrouve assez régulièrement en analyse.En est-il de même pour c ?
Pour c, sait-on si c est transcendant , irrationnel, ... ?

merci

borde

Salut bs,

$\gamma$ et $c$ sont liés par la formule $$c = \gamma - \sum_{p} \sum_{\alpha \geqslant 2} \frac {1}{\alpha p^{\alpha}},$$ et on ne connaît pas grand-chose des propriétés arithmétiques de $\gamma$, donc $c$ non plus...et je n'ai pas connaissance de travaux actuels allant dans ce sens.

Borde.

borde

Salut Kilébo,

Je ne t'avais pas lu, sorry ! Mon message ne répondait pas au tien, j'avais compris ton ironie, bien sûr, mais il m'a fait penser que certains lecteurs ne se souvenaient peut-être plus de ces relations.

De plus, les mettre côte à côte permet de visualiser ce qui était écrit ci-dessus.

Concernant la remarque de Lucas plus haut, je suis assez d'accord avec lui : il serait intéressant qu'Ericcc développe son idée plus en détail, je pense. En outre, en regardant l'adresse électronique de Lucas, je me demande si celui-ci ne serait pas un (autre) élève de Tenenbaum et Cie, ce qui en ferait un de plus sur ce forum !...

Borde.

lolo33

blagues :

a) si c est la constante de Mertens on sait qu'au moins un des nombres

c ou exp(c) est transcendant

b) on sait aussi que c + i exp(c) est transcendant.

Les deux affirmations sont vraies.

lolo

Lucas6

>En outre, en regardant l'adresse électronique de Lucas,
>je me demande si celui-ci ne serait pas un (autre) élève de
>Tenenbaum et Cie, ce qui en ferait un de plus sur ce forum !...

Physiquement, j'en suis très proche effectivement (deux étages en dessous en fait, on est dans le même labo), mais moi je suis en thèse dans l'équipe de probas...

C'est en pur béotien de théorie des nombres que j'essayais de comprendre le message de ericc.

bs1

merci Borde pour cette jolie relation entre $c$ et$\gamma$.
peut-être un jour,...

bs1

merci Borde pour cette jolie relation entre $c$ et$\gamma$.
peut-être un jour,...

borde

D'accord, Lucas, tu ne devais effectivement pas être bien loin "physiquement" de la théorie des nombres, en tout cas c'est le souvenir qui me restait de ces lieux.

Bs : de rien !...

Borde.

ericcc

Bonjour à tous

Tout d'abord milles excuses pour l'imprécision de mon message, mais mes années de taupe remontent à près de 30 ans, et je n'ai guère eu l'occasion de faire des maths dans ma vie professionnelle. Je suis tombé par hasard sur votre forum il y a quelque temps, et j'essaie à mes moments perdus de regarder certains messages; d'autant plus que j'aide une jeune fille en prépa Agro, ce qui m'oblige à réviser mes maths.

Je ne suis donc pas un spécialiste et je reconnais que ma formulation était imprécise, mais Borde a compris le sens de mon idée. Je ne peux pas vraiment la préciser sinon réexprimer :
Peut être existe-t-il une sous suite remarquable des nombres premiers dont la somme des inverses est équivalente à log(log(log(n))), et peut etre que cette sous suite est composée de nombres premiers qui possèdent une caractéristique commune. Appelons les "Nombres Premiers Elémentaires". Peut-être peut on "construire" l'ensemble de tous les nombres premiers avec ces Nombres Premiers Elementaires.
Je suis bien conscient que l'on peut décimer une suite de nombres pour arriver au résultat, mais il s'agit ici d'une suite précise de nombres.
Enfin, peut etre peut on itérer le procédé avec des sous suites dont la somme des inverse serait équivalente à log(log(log(log(n)))) etc. ?

bs1

Bonjour,

Dans le livre de JP Delahaye : Merveilleux nombres premiers, p214 ,est énoncé un résultat démontré par Littlewood et dans lequel apparaît l'expression:log(log(log(n))) ; expression qui figure également dans la question initiale de ce fil.

Il existe une constante c telle que l'inégalité :
l$\pi(m)-li(m)$ l >$c \sqrt{m} \frac{ln(ln(ln(m)))}{ ln(m)}$
est vérifiée une infinité de fois.