Application de la densité sur R

AlainLyon0

Quelqu'un peut il m'aider sur l'exercice suivant :

A et B sont des parties partout denses et dénombrables de l'ouvert ]0,1[, montrer qu'il existe une infinité de bijections croissantes de A vers B?

Si on montrait déjà qu'il y en a une au moins, il me semble que le reste doit se déduire.

corentin

Si on écrit $A=(a_n)_{n\geq 0}$, $B=(b_n)_{n\geq 0}$, on peut envoyer $a_0$ sur un $b_{n_0}$ quelconque, puis $a_1$ sur un $b_{n_1}$ etc.
Le problème est qu'on ne sait pas si l'application est une surjection. Peut être qu'on peut rendre ça surjectif en prenant un $b_{n_i}$ mieux choisi, genre si $a_1>a_0$, on prend le plus petit $n$ tel que $b_n>a_0$ et définir $b_n$ comme image de $a_1$.
Ensuite on prend $b_{n_2}$ tel qu'il soit placé par rapport à $b_{n_0}$ et $b_{n_1}$ comme $a_2$ par rapport à $a_0$ et $a_1$ etc...

Gakusei

Soit $(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$ des énumérations de $A$ et $B$. On va définir par récurrence une bijection croissante $f$ de $A$ vers $B$:
Posons $f(a_0)=b_0$, puis soit $n \in \N$ et supposons que f est définie et croissante pour $a_i, 0\leq i \leq n$. L'intervalle$]0,1[$ est découpé par les $a_i, 0 \leq i \leq n$ en sous-intervalle $]0,a_{i_0}[,\dots,]a_{i_n},1[$ et $a_{n+1}$ se trouve dans l'un d'eux, $]a_{i_k},a_{i_{k+1}}[$, f étant croissante l'intervalle$]0,1[$ est aussi découpé par les sous-intervalles $]0,f(a_{i_0})[,\dots,]f(a_{i_n}),1[$ on prend alors pour $f(a_{n+1})$ le $b_i$ tel que $b_i \in ]f(a_{i_k}),f(a_{i_{k+1}})[$ et $i$ est le plus petit indice ayant cette propriété.

Il est clair que $f$ est ainsi bien définie et qu'elle est injective et croissante par construction. Il faudrait néanmoins poursuivre la rédaction pour montrer qu'elle est aussi surjective (j'ai la flemme pour le moment!). Je pense d'ailleurs que le même procédé utilisé en changeant le rôle de $A$ et $B$ pourrait bien fournir la réciproque de f. Qu'en pensez-vous?

corentin

Ce n'est pas ce que j'ai fait ?

Gakusei

Si, mais ayant eu la même idée et ayant renoncé à rédiger, ce qui s'annonçait un peu compliqué, ton post m'a fait changer d'avis et j'ai finalement tenté un début de rédaction en $\LaTeX$ pour m'entraîner (à rédiger car je prépare l'agreg).
Au fait es-tu d'accord que le procédé appliqué en changeant le rôle des suites $a$ et $b$, fournit la réciproque de $f$?
@+

corentin

"Au fait es-tu d'accord que le procédé appliqué en changeant le rôle des suites $ a$ et $ b$, fournit la réciproque de $ f$? "
Ah, bonne question, j'y avais pas réfléchi. A vue de nez (c'est à dire pour $b_0$ et $b_1$ ) ça a l'air vrai.
De toute façon je pense que la surjectivité est trouvable, car pour tout $n$, si on ordonne $b_0,\cdots,b_n$ en $b_{i_0}\leq\cdots\leq b_{i_j}\leq b_n\leq b_{i_{j+2}}\cdots\leq b_{i_n}$, une fois qu'on aura trouvé $k$ tel que $a_0,\cdots,a_k$ tels que $a_{i_0}\leq\cdots\leq a_{i_j}\leq a_0\leq a_{i_{j+2}}\leq \cdots\leq a_{j_k}$, on va tirer $b_n$.

ps: je passe aussi l'agrég, et la rédaction est mon cauchemar...