Série double convergente ?

pablo0

$\ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1) x^{\frac{1}{2}} dx $ =
$\ 2 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{t^{2} + 1} dt $ = $\ \frac{\pi}{2} $

pablo0

$\ \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{|u_{n}|^{2}}{p+q}
\leq \frac{\pi}{2} \sum_{n=1}^{\infty} |u_{n}|^{2} < \infty $

egoroff

Pablo : Ca devient franchement pénible. 6 messages de suite, pas une seule phrase d'explication...

[Les messages doublons ont été supprimés. AD]

pablo0

mais c'est très simple :
$\ \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{|u_{p}.u_{q}|^{2}}{p+q} \leq \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{\infty} |u_{p}.u_{q}|^{2}
\leq ( \sum_{p=1}^{\infty} |u_{p}|^{2} )^\frac{1}{2} + ( \sum_{q=1}^{\infty} |u_{q}|^{2} )^\frac{1}{2} \leq \sum_{p=1}^{\infty} |u_{p}|^{2} < \infty $

pablo0

ooooooo mais tu paies des impôts pour ça !! >-(

egoroff

Sans s'attarder sur les erreurs d'indexation dans les sommes, tu sembles vouloir appliquer Cauchy-Schwarz, mais pour cela il ne faut pas qu'il y ait de carré dans la deuxième série que tu as écrite.

egoroff

C'est peut-être simple de ton point de vue mais c'est difficile à comprendre pour tes lecteurs (nous !) quand c'est plein de petits bouts de raisonnement dispersés dans 5 ou 6 posts ; tu comprends ? C'est pour ça que tu dois faire un gros effort de synthèse. On est pas à l'oral, il faut développer un peu ses idées sinon on ne comprend rien.

C'est dommage parce que je pense que tu as de bonnes idées en maths mais tu es beaucoup trop impulsif, réfléchis à deux fois lorsque tu écris quelque chose, demande toi quel théorème tu as utilisé, essaye avec un exemple, et réfléchis au fond de l'exo. Par exemple ici majorer bêtement le $1/(p+q)$ ne mène clairement à rien, il suffit de prendre $u_n=1/n$ pour le voir, mais tu refuses de laisser tomber !

pablo0

regarde:
$\ \sum_{p,q} \frac{| u_{p} . u_{q} |^{2}}{p+q} \leq \sum_{p,q} | u_{p}.u_{q} | \leq \frac{1}{2} \sum_{p,q} | (u_{p}+u_{q})^{2} - u_{p}^{2} - u_{q}^{2} | \leq \frac{1}{2} \sum_{p,q} | (u_{p}+u_{q})^{2} | \leq \sum_{p,q} |u_{p}+u_{q}|^{2} \leq ( \sum_{p}^{\infty} |u_{p}|^{2} )^\frac{1}{2} + ( \sum_{q=1}^{\infty} |u_{q}|^{2} )^\frac{1}{2} \leq $
oui tu as raison !! mais grace à l'inegalité de hilbert ( que je connaissais pas avant ), c'est resolu maintenant !!
c'est pas facile de trouver des solutions sans utiliser ce que borde a proposé et en plus avec un pi/2 comme facteur, et un quart d'heure de reflxion à l'oral..
et nous, 3 jour de recherche sans rien trouver !! mdrrrrr
c'est difficile ce genre de question !! à l'ENS vous travaillez avec ces inégalités ?!!

pablo0

il n'y a rien à montrer là : ( 1/ p+q ) < 1 p,q>1

pablo0

D'accord, moi l'expression je l'ai écrite en detail au milieu de ce fil de discussion... C'est fatiguant de la repredre en latex,.. Quand j'ai essayé avec celle de Borde, y a que du vide quant je mets du latex, et quant j'écris plusieurs fois le poste, tu commences à crier, comment tu veux que je fasse ? J'ai sauté parceque c'est dèjà cité, c'est à la disposition de tout le monde !! Tu veux que je la reprenne une deuxième fois ?

pablo0

tape " code latex" en bas du poste ou il y'a que du vide quant j'ai essayé d'appliquer l'inegalité de borde , c'est hyper detaillé, ça n'a pas voulu s'afficher j'ai juste ecrit l'essentiel pour aller droit au but, c'est pas pour laisser tomber les autres tu vas toujours dans le sens malade !!

pablo0

oui en plus $\ u_{p}^{2} \longrightarrow 0 $ la majoration n'est pas valide j'ai pas rendu compte désolé !!

Alain Debreil

Si on applique ce que Borde a proposé je pense qu'on aura quelque chose :
On pose :
$ \alpha = 2 $
$ \varphi (x,y) = \frac{1}{x+y} $
$ \varphi (t.(x,y)) = \varphi ((tx,ty)) = \frac{1}{tx+ty} = \frac{1}{t} \frac{1}{x+y} = \frac{1}{t} \varphi (x,y) $.

---

J'ai verifié ce que c'est une fonction homogène sur google:
Définition :
$ f $ homogène de degré $ \alpha $ sur $ D $
$ \Leftrightarrow $
$ \forall t \in D,\ \forall X \in D,\ tX \in D\ : \ f(tX) = t^{\alpha} f(X) $

---

Dans notre cas :
$ \varphi (x,y) > 0 $ homogène de degré $ {-1} $.
$ a_{n} = b_{n} = | u_{n} | $
Maintenant pour les intégrales : $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1) x^{\frac{1}{2}} }\mathrm dx = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{t^{2} + 1} \mathrm dt = \frac{\pi}{2} $.
$\displaystyle x \longmapsto \frac{1}{(x+1) x^{\frac{1}{2}}} $ est décroissante sur $ ]0,\infty[ $ !! ( évident )
$\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{|u_{n}|^{2}}{p+q}
\leq \frac{\pi}{2} \sum_{p=1}^{\infty} |u_{n}|^{2} < \infty $
La série est bornée.

Alain Debreil

Regarde :
$\sum_{p,q} \frac{| u_{p} . u_{q} |^{2}}{p+q} \leq \sum_{p,q} | u_{p}.u_{q} | \leq \frac{1}{2} \sum_{p,q} | (u_{p}+u_{q})^{2} - u_{p}^{2} - u_{q}^{2} | $
$\qquad\qquad\qquad \leq \frac{1}{2} \sum_{p,q} | (u_{p}+u_{q})^{2} | \leq \sum_{p,q} |u_{p}+u_{q}|^{2} \leq ( \sum_{p}^{\infty} |u_{p}|^{2} )^\frac{1}{2} + ( \sum_{q=1}^{\infty} |u_{q}|^{2} )^\frac{1}{2} $
Oui tu as raison !! Mais grâce à l'inégalité de Hilbert ( que je ne connaissais pas avant ), c'est résolu maintenant !!
Ce n'est pas facile de trouver des solutions sans utiliser ce que Borde a proposé et en plus avec un pi/2 comme facteur, et un quart d'heure de reflexion à l'oral..
Et nous, 3 jours de recherche sans rien trouver !! mdrrrrr
C'est difficile ce genre de question !! à l'ENS vous travaillez avec ces inégalités ?!!

Alexandre Vandeville0

J'admire ta patience egoroff.
--
Alexandre, même si la patience a des limites.

pablo0

on peut vite remarquer que la serie croit et on a la serie bornée donc forcement elle converge !!

Guimauve

« <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="276" HEIGHT="45" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/09/25/97600/cv/img1.png&quot; ALT="$ \sum_{(p,q)} \vert u_p+u_q\vert^2 \leq \sqrt{\sum_p u_p^2} + \sqrt{\sum_q u_q^2}$"></SPAN> »
<BR>
<BR>En quel honneur ?<BR><BR><BR>

pablo0

Oui Egoroff l'a remarqué aussi, ça ressemble un peu à l'inégalité de Minkowski, mais ce n'est pas juste !!

egoroff

Encore une salve de 5 messages... Je vais faire mentir Alexandre, je passe le relais,

egoroff

PS : Une suggestion d'un nouvel article pour la charte, "Il est mal vu pour un utilisateur d'utiliser un fil de discussion - intéressant qui plus est - comme un brouillon pour y noter la moindre idée qui lui passe par la tête, sans aucun effort de mise en forme et à grande échelle."

[Utilisateur supprimé]

+1 pour Egoroff. Il commencait à me gonfler l'autre avec ses idées à deux balles qu'il jette sans réflechir. D'autant plus que le sujet du post etait tres interresant avec toujours la contribution eclairée de Borde.

Joaopa

egoroff

Merci de ton soutien Joaopa. D'autres sont motivés pour le lynchage ;-) ?

Aleg

$+\infty $ pour egoroff : oui, effectivement, c'est bien dommage qu'un sujet aussi intéressant soit rendu illisible par des interventions intempestives et incessantes qui ne présentent pas le moindre intérêt.

bs1

egoroff est humain et a fini par craquer, mais il en aura fallu des pablolinades .

les modérateurs ne peuvent-ils pas retirer tous les messages parasites qui n'apportent rien de mathématiquement constructif sur ce fil par exemple ?

pablo0

mdrrrrrrr

pablo0

j'ai juste apporté quelques contributions, c'est comme ça que ça se passe dans ma tete !!

pablo0

Ne craignez rien je vais reflechir cette fois avant de donner des idées completes !!

bisam

Pablo, tu as quand même réussi à écrire la moitié des posts de ce fil à toi tout seul et la majeure partie d'entre eux après que la solution fut donnée.

bisam

Pour ceux qui continuent à lire, je joins un pdf où la démonstration de l'inégalité de Hilbert est très bien expliquée... et même de 2 manières différentes.<BR>

Aleg

bisam,
ce poly est génial ! et les exercices de la fin sont très intéressants (j'aime bien les pb 10.4 et 10.7)
d'où est-ce que ça sort ?

ci-joint l'article de l'AMM 1993 dont parle ton poly page 161 ("a geometric explanation for the appearance of $\pi $"...etc..).

bisam

J'ai trouvé ça grâce à notre ami Google... et c'est vrai que ce poly est tout bonnement génial.

bs1

bisam + Aleg , c'est explosif: documents très intéressants.

bisam: De quoi parlaient les autres chapîtres de ce poly ?, son origine ?
merci

cyrille

Bonjour,
<BR>
<BR>Pour bs : Ce chapitre vient d'un livre édité chez cambridge.
<BR>sur son site l'auteur met 3 chapitres je crois.

<BR>Titre du bouquin :
<BR>The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities
<BR>

<BR>site de l'auteur:

<BR><a href=" http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.htm"&gt; http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.htm</a&gt;
<BR>
<BR>PS: je viens d'acheter le livre ;-)<BR><BR><BR>
[Lien corrigé. AD]

bs1

mercyrille

Aleg

ce bouquin m'a l'air bien appétissant... quel talent !
merci cyrille.

borde

Pour compléter cet intéressant fil soulevé par Bisam, voici un article tout neuf du JIPAM montrant une "inégalité de Hilbert inversée" :
<BR>
<BR><a href=" http://jipam.vu.edu.au/images/016_06_JIPAM/016_06.pdf"&gt; http://jipam.vu.edu.au/images/016_06_JIPAM/016_06.pdf</a&gt;
<BR>
<BR>Bonne lecture,
<BR>
<BR>Borde.<BR>

bisam

Mieux vaut utiliser l'adresse suivante (l'autre n'est pas lisible sur écran mais uniquement imprimable, d'après ce que j'ai cru comprendre) :
<BR>
<BR><a href=" http://jipam.vu.edu.au/images/016_06_JIPAM/016_06_www.pdf"&gt; http://jipam.vu.edu.au/images/016_06_JIPAM/016_06_www.pdf</a><BR&gt;

borde

Quand je clique sur le lien que j'ai mis, un fichier pdf tout ce qui a de plus normal apparaît avec acrobat. Il est donc visible et imprimable. Quel problème as-tu avec celui-là ?

Borde.

bisam

Je ne sais pas quel est le problème... je pense que ça vient d'une combinaison étrange entre l'extension "Pdf download" de Firefox et mon logiciel de lecture de pdf "Foxit Reader".

Si je passe outre "Pdf download", tout va bien... mais sinon, c'est "Foxit Reader" qui m'envoie une erreur !

M'enfin, tout le monde s'accomodera du fait qu'il y ait 2 fois le même fichier... dont le deuxième avec pleins de liens pénibles pour la lecture (mais pratiques pour la navigation ?)

borde

Tu as raison, et je ne puis t'aider pour ton problème de lecture du fichier.

A +

Borde.

cyrille

bonjour,

je viens de recevoir le livre:

The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities


il est vraimment très bien et je le recommande vivement :-)

banban

Bonjour,
je ne parviens pas à établir la dernière égalité de la démonstration proposée par Aleg :
$-i \int_0^{\pi} (P(e^{i\theta}))^2e^{i\theta} = \pi \sum_0^N u_n^2$.
Je serais bien reconnaissant si quelqu'un pouvait me donner une indication pour l'obtenir.

aléa

C'est normal, la preuve du Chambert-Loir est fausse.

Voir le document ci-joint.

banban

Merci aléa,
j'ai bien étudié et décortiqué la solution que tu proposes.
Cela me convient parfaitement.