dérivée d'une intégrale

poulpe0

Salut tout le monde,
<BR>
<BR>Voilà je dois dériver <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="144" HEIGHT="53" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/09/21/97390/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle \int_0^x \sinh(x-t)b(t)\mathrm dt $"></DIV><P></P>avec <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="63" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/09/21/97390/cv/img2.png&quot; ALT="$ x \in [0,1]$"></SPAN> et j'ai un doute !
<BR>Ce que j'ai fait :
<BR>La fonction <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="156" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/09/21/97390/cv/img3.png&quot; ALT="$ f : t\mapsto \sinh(x-t)b(t)$"></SPAN> est continue sur <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="36" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/09/21/97390/cv/img4.png&quot; ALT="$ [0,x]$"></SPAN> donc elle admet des primitives sur <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="36" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/09/21/97390/cv/img4.png&quot; ALT="$ [0,x]$"></SPAN>. Notons <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/09/21/97390/cv/img5.png&quot; ALT="$ F$"></SPAN> l'une d'entre elles.
<BR>On a donc <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="51" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/09/21/97390/cv/img6.png&quot; ALT="$ F ' = f$"></SPAN>
<BR>Donc : <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="252" HEIGHT="53" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/09/21/97390/cv/img7.png&quot; ALT="$ \displaystyle \int_0^x \sinh(x-t)b(t) \mathrm dt = F(x)-F(0)$"></SPAN>
<BR>Mais en dérivant, j'obtiens que la dérivée de l'intégrale vaut 0... car <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="66" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/09/21/97390/cv/img8.png&quot; ALT="$ F(x)=0$"></SPAN>
<BR>
<BR>Merci pour votre aide.

...

Oui, c'est faux, car tu dérives ta fonction comme si elle ne dépendait pas de x. Je pense plutôt qu'il faudrait faire un changement de variable histoire d'avoir des bornes fixes et d'utiliser les théorèmes sur la dérivation sous le signe somme !

Aleg

la règle de dérivation d'une intégrale du type
$$g(x)=\int_{\alpha (x)}^{\beta (x)}\,f(t,x)\,dt$$
est connue sous le nom de "théorème de Leibiniz de dérivation d'une intégrale à paramètre présent dans les bornes et l'intégrande" : on a (sous les hypothèse idoines)
$$g'(x)=\int_{\alpha (x)}^{\beta (x)}\,\frac{\partial f}{\partial x}f(t,x)\,dt+\beta '(x)f(\beta (x),x)-\alpha '(x)f(\alpha (x),x)$$

tu peux l'appliquer ici sans problème avec $\beta (x)=0$, $\alpha (x)=x$ et $f(t,x)=\sinh (x-t)\,b(t)$.

Aleg

la règle de dérivation d'une intégrale du type
$$g(x)=\int_{\alpha (x)}^{\beta (x)}\,f(t,x)\,dt$$
est connue sous le nom de "théorème de Leibiniz de dérivation d'une intégrale à paramètre présent dans les bornes et l'intégrande" : on a (sous les hypothèse idoines)
$$g'(x)=\int_{\alpha (x)}^{\beta (x)}\,\frac{\partial f}{\partial x}f(t,x)\,dt+\beta '(x)f(\beta (x),x)-\alpha '(x)f(\alpha (x),x)$$

tu peux l'appliquer ici sans problème avec $\beta (x)=x$, $\alpha (x)=0$ et $f(t,x)=\sinh (x-t)\,b(t)$.

[doublon : message précédent à supprimer]

Alain Debreil

Salut tout le monde,

Voilà je dois dériver $$ \int_0^x \sinh(x-t)b(t)\mathrm dt $$ avec $x \in [0,1]$ et j'ai un doute !
Ce que j'ai fait :
La fonction $f : t\mapsto \sinh(x-t)b(t)$ est continue sur $[0,x]$ donc elle admet des primitives sur $[0,x]$. Notons $F$ l'une d'entre elles.
On a donc $F ' = f$
Donc : $\displaystyle \int_0^x \sinh(x-t)b(t) \mathrm dt = F(x)-F(0)$
Mais en dérivant, j'obtiens que la dérivée de l'intégrale vaut 0... car $F(x)=0$

Merci pour votre aide.

poulpe0

Merci au modérateur pour avoir clarifié mes formules.     [A ton service. AD]

Merci à vous pour vos réponses.
En fait, j'ai réussi en utilisant sh(a+b)=...
a+

egoroff

Excellente cette formule de l'excellent Aleg ;-)