sin'(0)=1

Logicien

Bonjour,

Connaissez-vous des preuves originales de sin'(0)=1 ou cos'(0)=0 ?

Pour cos'(0)=0 en voici une :

On introduit la fonction constante f(x) = (cosx)²+(sinx)²
que l'on dérive :

on obtient : 2(cosx)cos'(x) + 2 (sinx)sin'(x) = 0
soit : (cosx)cos'(x) + (sinx)sin'(x) = 0

Enfin, on évalue l'expression en x=0
On obtient : cos'(0) = 0

original !
Connaissez-vous quelque chose d'analogue pour sin'(0)=1 ?

...

Mouai, je crois avoir deja vu une preuve "géométrique" avec des inégalités etc sur le cercle trigo dans un livre de 1ere S (Déclic je crois)

CQFD

Soient $x\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$ et $M$ le point du cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ de coordonnées $(\cos x,\sin x)$. Soit $T$ le point d'abscisse $1$ appartenant à la droite $(OM)$; $T$ a pour coordonnées $(1,\tan x)$.
Comme la surface du triangle $OIM$ est inférieure à celle de l'arc de cercle $OIM$, elle-même inférieure à celle du triangle
$OIT$, on aboutit aux inégalités : $\sin x\le x\le \tan x$. Par suite, comme $x\in]0,\dfrac{\pi}{2}[$, $\cos x\le \dfrac{\sin x}{x}\le 1.$ Ainsi, la fonction $x\longmapsto\dfrac{\sin x}{x}$ tend vers $1$ quand $x$ tend vers $0$ par
valeurs supérieures.
Si $x\in]-\dfrac{\pi}{2},0[$, on aboutirait de façon analogue aux inégalités : $-\tan x\le -x\le -\sin x$.
Par suite, la fonction $x\longmapsto\dfrac{\sin x}{x}$ tend vers $1$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs inférieures.

Aleg

CQFD,

je ne crois pas que ta "démonstration" réponde au caractère "original" demandé par Logicien ; au contraire, elle est même carrément bateau...

D'ailleurs, à mes yeux, ça n'a jamais été une démonstration rigoureuse (trop d'implicite : existence de l'aire et propriétés...).

Il y a déjà eu un topic sur ce sujet il y a qq mois : il faudrait faire une recherche.

Zantac

sin(2x)=2sin(x)cos(x) et tu dérives

GERARD

Pas mal, logicien.

Mais il faut, préalablement admettre que sin et cos sont dérivables. Au moins en 0. Comment le fais-tu sans calculer cos' ou cos'(0) ?

Je chipotte!

Cordialement

Kuja

Je suis surpris par la "preuve" de logicien : pour arriver au bout, on suppose d'abord qu'on sait que la dérivée du cosinus est le sinus (pour pouvoir dériver la fonction constante) et ensuite on prend la valeur de cette expression en 0, ce qui suppose qu'on sait que la valeur du sin en 0 est 0. Bref, on avait déjà toutes les données pour conclure sans passer par cette fonction constante.
Pour moi ce n'est pas une preuve originale ...

Amicalement,

Aleg

Kuja,
je ne vois pas bien où Logicien utiliserait dans son raisonnement l'hypothèse $\cos^{\prime }=\sin $

Aleg

l'hypothèse $\cos^{\prime }=-\sin $ of course...

Christian Vassard

Bonjour à tous,
Ah non, Aleg, je trouve quant à moi que la démonstration de CQFD est fort intéressante. Et à ma connaissance, il n'existe pas d'autre démonstration de la dérivabilité du sinus en 0 si l'on se restreint au niveau du lycée.
La seule présentation rigoureuse, c'est celle qui passe par les séries entières et qu'on voit dans le supérieur
On s'appuie sur les propriétés implicites de l'aire certes mais pour autant, ces propriétés sont naturelles, et donc convainquent.
De toute façon, dès qu'on commence à parler du cercle, de son périmètre, de son aire (en 6e? et peut-être avant), on perd la rigueur! Ne la perd-on pas aussi quand on commence à travailler avec un nombre comme 0,33333333... sans se soucier du problème de la convergence?
Bon mais, cela n'empêche pas d'avancer non? Quitte à faire le ménage, et à reconstruire le moment venu tout cela proprement.
C'est aussi comme cela que les maths ont avancé dans l'histoire.
Cordialement,
Christian V.

Kuja

Au temps pour moi, je retire ce que j'ai dit.
Je suis à l'ouest, heureusement que c'est le week end ...
Désolé !

Aleg

Christian Vassard,

Je suis entièrement d'accord avec ce que tu dis, en particulier sur le fait que la seule présentation rigoureuse des fcts trigonométriques repose sur l'exponentielle complexe définie par son développement en série, façon de faire qui serait stupide (et suicidaire..) d'adopter au niveau Lycée.

Juste un petit point de désaccord : je n'ai pas dit que la démonstration de CQFD n'était pas "intéressante", j'ai juste signalé qu'elle n'était pas "originale" (au sens qu'attendait l'auteur du topic) et j'ai rappelé qu'elle ne me paraissait pas rigoureuse (au sens logique et mathématique du terme).

Mais bien entendu, je ne nie pas son caractère éclairant et intuitif, de même que je ne nie pas l'intérêt pédagogique de s'appuyer sur des propriétés implicites et "naturelles" (ou des propriétés clairement admises) pour en déduire d'autres qui le sont moins.

Pour revenir au calcul de la valeur de la dérivée de $\cos $ en $0$ par la méthode du Logicien (dérivation de $\sin^2x+\cos^2x$ puis prendre $x=0$), elle a peut-être l'air "original" mais elle souffre d'un grave défaut de logique (de rigueur ?) que Gérard a bien résumé :
comment sait-on que les fcts $\sin $ et $\cos $ sont dérivables ??

Christian Vassard

@Aleg:
Nous sommes tout à fait d'accord, et en particulier sur le très gros défaut de la méthode du logicien.
Oui, c'est vrai que la démonstration de CQFD n'est pas originale. Elle est même assez connue, plus rigoureuse que les comparaisons de longueur qu'on rencontre parfois. Les comparaisons d'aire si on admet l'outil sont très clairs.
Les aires constituent un outil d'une puissance remarquable(voir par exemple les démonstrations de Thalès et Pythagore à la mode d'Euclide), mais d'une complexité mathématique redoutable finalement.
Cordialement,
Christian V

rémi

Bonjour,

Je n'ai pas lu (juste en diagonale) et j'interviens juste pour signaler que nous avons déjà eu une discussion similaire. Donc si quelqu'un se sent l'âme de chercher, il pourra trouver des éléments.

Rémi.

Logicien

<!--latex-->Bonjour,
<BR>
<BR>Merci pour vos réponses. J'en suis bien conscient et j'aurais dû être beaucoup plus clair dès le départ : les fonctions cos et sin sont supposées dérivables sur R et la question était seulement de démontrer que :
<BR><center> cos'(0) = 0 et sin'(0) = 1 </center>
Pour démontrer la dérivabilité, je ne vois pas d'autre façon que de prendre un h aussi petit que souhaitable.
<BR>
<BR>J'ai fait une recherche sur google et effectivement cette question avait déja été abordée :
<BR><a href = "http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=196491&t=187067#reply_196491"&gt; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=196491&t=187067#reply_196491 </a>
<BR><a href = "http://perso.orange.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/DevoirsT_fichiers/DM3TS.pdf"&gt; http://perso.orange.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/DevoirsT_fichiers/DM3TS.pdf </a>
<BR><a href = "http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&loc=0&i=200586&t=200586"&gt; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&loc=0&i=200586&t=200586 </a>

Nicolas_75

Bonjour ,

{\bf Logicien}, je ne comprends pas comment tu montres la dérivabilité des fonctions cosinus et sinus. Déjà comment les {\it définis}-tu ?

Pour moi, de deux choses l'une.

{\bf Soit} tu définis cos(x) et sin(x) comme l'abscisse et l'ordonnées du point M repéré sur le cercle trigonométrique par un angle x.
Cette définition ne peut pas être assise rigoureusement : qu'est-ce qu'un angle ? etc...
Mais on l'utilise à juste titre jusqu'au lycée.
Dans ce cadre, la seule démonstration de $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ que je connaisse passe par un encadrement d'aires.

{\bf Soit} tu définis cosinus et sinus par les exponentielles complexes et les séries entières. C'est alors une autre histoire.

(plus détails sur \url{http://www.ilemaths.net/forum-sujet-77274.html}, message du 17/04/2006 à 16:04)

{\bf Dans quel cadre te situes-tu ?}

Cordialement,

Nicolas

Logicien

Bonjour,

Nicolas, je définis les fonctions cos et sin comme tu l'indiques : l'abscisse et l'ordonnée du point M repéré sur le cercle trigonométrique par un angle x.
Et la seule démonstration de la dérivabilité de ces fonctions que je connaisse est celle de CQFD à partir des aires.

Je voulais seulement savoir si quelqu'un pouvait prouver que sin'(0) = 1 en supposant que sinus est dérivable mais sans savoir que sa dérivée est cosinus , mais j'ai l'impression que ça doit pas être faisable ...
alors que c'est effectivement possible pour le nombre dérivé de cos en 0 .

Par exemple, supposons que la fonction cos est dérivable sur R ( sans savoir que sa dérivée est -sin ) , cos étant une fonction paire, on obtient que sa fonction dérivée est impaire, ce qui implique que : cos'(0) = 0 .

Cordialement,
Logicien

Nicolas_75

Je comprends.

"Je voulais seulement savoir si quelqu'un pouvait prouver que sin'(0) = 1 en supposant que sinus est dérivable mais sans savoir que sa dérivée est cosinus "

Pour ma part, je ne sais pas le faire.
Au contraire, je pense que la démonstration de la dérivabilité de sinus (définie comme au lycée) repose sur sinx/x->1

Cordialement,

Nicolas