polynôme irréductible

ADSJ0

Bonsoir, je pense avoir démontré le résultat suivant:\\
Soit $\zeta$ une racine de l'unité non réelle. Il existe un entier $N$ tel que pour tout nombre premier $p\geq N$, le polynôme $X^p-\zeta$ est irréductible sur $\Q(\zeta)$.\\

Avant de donner les idées de ma preuve (qui j'espère est juste), j'aimerais avoir vos idées...

merci

AG0

Hello,

ce que tu dis n'est pas tout a fait vrai: en effet, pour p premier assez grand, ton polynome a une racine dans Q(zeta). En effet, soit n l'ordre de zeta. Alors si p est premier a n, p est inversible dans Z/nZ, donc l'equation X^p=zeta a une solution, qui est une puissance de zeta. On a donc X^p-zeta=(X-zeta^a)Q(X). Par contre, le quotient Q, qui est un polynome de degre p-1, est irreductible sur Q(zeta). Cela resulte simplement de l'egalite phi(pn)=(p-1)phi(n).

amicalement,

AG

ADSJ0

AG à mon grand désespoir tu sembles avoir raison, je ne comprends pas pourquoi Q est irréductible...

AG0

Hello adsj,

voici les details. soit donc n l'ordre de zeta, et p premier ne divisant pas n. Soit xi une racine primitive np-ieme de 1, telle que xi^p-zeta=0. Alors xi est racine de Q
Or le degre de l'extension Q(zeta)/Q est egal a phi(n), et celui de Q(xi)/Q est phi(np)=(p-1)phi(n), donc le degre de l'extension Q(xi)/Q(zeta) vaut p-1, qui est le degre de Q. Q est par suite irreductible.

J'espere que cela te satisfait!

amicalement,

AG