Equation fonctionnelle

skyrmion

Bonjour,

Soit \`a r\'esoudre l'\'equation fonctionnelle : $$\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2, \ \ f(x+y) + f(x-y) = 2 \left( f(x) + f(y)\right),$$
avec $f$ suppos\'ee d\'erivable.


Ca doit \^etre ultra-classique, mais je coince..... Si $f'$ est d\'erivable en $0$, j'ai la solution!

Quelqu'un connait-il le truc?

Merci.

sk.

P.Fradin

Avec y=x on obtient f(2x)=2f(x)-f(0). Poser b=f(0), par récurrence on a pour x donné:
$$f(x)=2^n[f(\frac x{2^n}) -b] +b$$
comme f est dérivable en 0, on peut conclure en prenant la limite lorsque $n\to +\infty$.

Sauf erreur...

MMu

Pas besoin de la dérivabilité .. La continuité de $f$ en $1$ suffit ..

Un peu de fantaisie ..

skyrmion

Bonjour,


Oups, il semble y avoir un probl\`eme dans la solution propos\'ee.

En fait j'ai trouv\'e la r\'eponse :
On montre succesivement que $$\forall x\in\mathbb{R} \forall n\in\mathbb{Z}, f(nx)=n^2f(x).$$

Ensuite $\forall (p,q)\in\mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*,$ $$f(\frac{p}{q})=\left(\frac{p}{q}\right)^2 f(1)$$

Puisque $f$ est continue, on passe par densit\'e de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, \`a $$\forall x\in\mathbb{R}, f(x)=f(1) x^2.$$*

Donc en fait l'hypoth\`ese $f$ d\'erivable \'etait superflue puisque il suffit de $f$ continue....

Les solutions continues (ou d\'erivables) de $f(x+y)+f(x-y)=2 (f(x)+f(y))$ sont donc les $f(x)=k x^2, k\in\mathbb{R}$.

Cordialement,

sk.

P.Fradin

Effectivement! Je me suis emballé trop vite, ma relation est fausse, la bonne est f(2x)=2f(x)+f(0), ce qui change évidemment la suite!

P.Fradin

Décidément, il y a des jours où ça ne va pas ! C'est f(2x)=4f(x)-f(0) !

Guimauve

Et f(0)=0 (faire le changement de variable y -> -y).

skyrmion, comment montres tu que f(nx)=n²f(x) ?

oumpapah2

Bonjour

cet exo donne l'occasion de citer

" si N est une norme sur un espace vectoriel sur R vérifiant la loi du parallelogramme
(i.e pour tout x et tout y de E on a
N(x+y)+N(x-y) = 2N(x)+2N(y) )
alors N est issue d'un produit scalaire "

ce qui prouve que cette loi ( cf al kashi vu dans le secondaire) est au coeur de la structure d'espace euclidien.

(P.fradin a du faire faire ça à ses éléves de prepa..bonne rentrée à tous au passage..)

Oump.

Aleg

pour Guimauve :
"skyrmion, comment montres tu que f(nx)=n²f(x) ?"

d'abord par récurrence (double) sur $n\in \N$, en utilisant
$$f((n+1)x)=f((n-1)x)+2(f(nx)+f(x))$$

avec l'hypothèse de récurrence on arrive sans problème à $f((n+1)x=(n+1)^2f(x)$.

Guimauve

Merci Aleg.