variations autour de l'hypothèse de Riemann

borde

Bonsoir,
<BR>
<BR>Voici un papier, publié chez ArXiV, facile à lire, et qui ravira sans doute les fans de l'hypothèse de Riemann.
<BR>
<BR><a href=" http://fr.arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0604/0604314.pdf"&gt; http://fr.arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0604/0604314.pdf</a&gt;
<BR>
<BR>Borde.<BR>

cfao

Désolé cher Borde de cette question, quelle est la chose la plus touchante de ce papier? Merci

Amicalement
cfao

Richard André-Jeannin

Dès qu'il y a du loglog(n), Borde ne sait pas résister.

Gaston

papier très intéressant et effectivement relativement accessible. merci Borde.
sais tu si cette piste d'attaque est envisagée? si on est "très loin" "excessivement loin" ou "infiniment loin" d'aboutir par cette méthode?

cfao

Et moi je le joints à mes documents préférés, Merci Borde

Amicalement
cfao

ptitloupfouchou

En regardant sur arxiv, je suis tombé sur çà ... Bon j'ai un peu de mal avec l'anglais :X alors je ne pige pas trop ce qu'il fait quoi du moins j'ai l'impression qu'il croit montrer que l'hypothèse de Riemann est vraie ... Je n'ai pas encore lu le texte mais que penser de : <http://fr.arxiv.org/PS_cache/math-ph/pdf/0609/0609013.pdf&gt; ?

B.....t

Amusant de lier la théorie analytique avec une simple considération sur les diviseurs. Merci Borde pour cet article.

borde

De rien à tous.

Ptiloupfouchou, sans avoir tout lu la partie physique, voici ce que je dirais : la partie mathématique du preprint que tu nous a mis me semble...étonnante, disons. En effet, je cite une phrase de la page 15 :

{\it [...], the sufficient condition for the proof of the Riemann hypothesis is that the Euler product representation exists for the zeta function and the prime number theorem is satisfied.}

Trad (approximative) : "La" condition suffisante pour une preuve de RH est l'existence d'un produit eulérien pour $\zeta$ et le TNP.

Mais ces deux points sont vrais et bien connus depuis plus d'un siècle, cela n'en démontre pas pour autant la véracité de HR, ou alors quelque chose m'échappe.

Vient ensuite une formule curieuse : l'égalité (77). Tout d'abord, et si j'ai bien compris, ce que les auteurs appellent un "Gauss symbol" semble n'être que la partie entière. Ensuite, j'ai jeté un coup d'oeil à la preuve page 16, et je ne vois toujours pas l'intérêt de ces réels $a_n$ dans la formule. Pourquoi ne pas avoir, à partir de l'égalité (78), sorti le $n-$ème nombre premier $p_n$ de la somme de droite, et majorer les reste ?

Tout ce que je viens de dire n'est bien sûr que le reflet de mon opinion en cet instant, et est donc sujet à débat. Mais je voudrais terminer mon baratin en citant une phrase du livre de théorie des nombres que je viens de m'acheter (écrit par des spécialistes) :

{\it The} GRH {\it may be out of reach for several generations of researchers}...

Trad : l'hypothèse de Riemann (généralisée) risque d'être hors d'atteinte et ce, pendant plusieurs générations de chercheurs.

ça fait froid dans le dos, non ?

Borde.

Aleg

bonjour Borde,
tu as raison d'être circonspect et de rappeler indirectement à Ptiloupfouchou que les pre-prints publiés sur ArXiv ne sont pas soumis à un comité de lecture (il n'y a pas de "referee" -comme disent les anglo-saxons- qui garantit le sérieux et l'intérêt de l'article), donc qu'on peut y trouver du très bon comme du très mauvais..
On y trouve même de l'escroquerie pure et simple comme ça par exemple....(article très célèbre sur ce forum...)

choucroute garnie1

"Trad : l'hypothèse de Riemann (généralisée) risque d'être hors d'atteinte et ce, pendant plusieurs générations de chercheurs"

J'ai entendu dire la même chose de la conjecture de Poincaré peu avant que Perelman n'en vienne à bout. Pareil pour la conjecture de Mordell.

borde

Peut-être (je ne connais pas les problèmes sous-jacents à conjecture), mais, concernant HR, c'est un état d'esprit qui régne actuellement chez les spécialistes.

En parlant de spécialistes, d'ailleurs, rappelons que le forum en possède un qui intervenait l'an passé sous le pseudo de Bob.

S'il nous lit, il nous en dira certainement plus !

Borde.

choucroute garnie1

Depuis une vingtaine d'années, des problèmes considérés comme inaccessibles par les specialistes sont regulierement resolus par des méthodes inattendues par des non spécialistes.
C'est ce qui fait le charme des mathématiques.

choucroute garnie1

Et merci pour l'article

choucroute garnie1

Pour ceux que ça interresse, un ouvrage qui "rend compte des fausses nouvelles, des démonstrations refutées, des espoirs déçus qui se sont succédés":

"PRIME OBSESSION.
BERNHARD RIEMANN AND THE GREATEST UNSOLVED
PROBLEM IN MATHEMATICS"

Par John Derbyshire

borde

<I>Depuis une vingtaine d'années, des problemes considerés ccomme inaccessibles par les specialistes sont regulierement resolus par des
méthodes inattendues par des non spécialistes</I>.
<BR>
<BR>Il est vrai qu'un certain nombre de problèmes difficiles peuvent être résolus par des "non-spécialistes". Toutefois, je n'ai pas en tête une telle configuration (mais je ne connais pas tout, bien sûr). De plus, concernant HR, une preuve de la véracité de cette hypothèse entraînerait des boulversements tels que l'on a jamais vraiment connu une telle situation auparavant (sauf peut-être lorsque l'analyse complexe est arrivé à maturité). Par exemple, la preuve de Wiles du grand th. de Fermat, au fond, n'est "seulement" venu "que" confirmer ce que l'on pressentait depuis longtemps, et je dis cela sans remettre en cause l'incroyable travail fourni autour de ce sujet, bien sûr.
<BR>
<BR>HR, quant à elle, impliquerait d'autres conjectures que l'on est encore incapable d'approcher (hypothèse de Lindelöf, conjecture de densité, etc), dont certaines ont été posées justement parce que l'on n'arrivait pas à démontrer ou infirmer HR. Cette difficulté a fait d'ailleurs dire à certains que HR était fausse. En revanche, des inégalités comme celle de Lagarias, ou encore plus celle de Robin (voir article ci-dessus), fournissent au moins une bonne raison heurisitique de penser qu'elle est vraie, mais le problème est vraiment, vraiment très difficile... et, à mon sens, inaccessible pour un non-spécialiste.
<BR>
<BR>Je dirais d'ailleurs la même chose pour la conjecture ABC, qui résoudrait elle aussi bon nombre de problèmes actuels, même si celle-ci possède un argument heuristique avec le th. de Mason.
<BR>
<BR>Mais ce n'est qu'un point de vue !
<BR>
<BR>Borde.<BR>

TheVelho

Merci Borde pour cette explication de ce qu'entrainerait la résolution de RH.


Pourrais-tu (ou quelqu'un d'autre aussi !) expliquer un petit peu plus en détail ce qui serait si boulversant si quelqu'un trouvait une solution ?

Pourquoi ce problème en paticulier obsède-t-il tant de monde (voir tout ce que les matheux du 20ième siècle ont dit dessus). Est-ce le fait qu'on obtient un TNP beaucoup plus précis que celui qu'on connaît (et donc une meilleure connaissance des nombres premiers) ? D'autres choses ?

choucroute garnie1

Quand je parle de "non spécialistes", je veux parler de mathématiciens professionnels qui travaillent dans un domaine autre que celui du problème en question et qui le résolvent de façon non conventionnelle. Ce fut le cas de Donaldson qui résolut des questions de topologie des variétés différentielles de dimension 4 (sur lesquelles butaient les spécialistes) en utilisant des équations aux dérivées partielles issues directement de la physique des particules élémentaires. Personne n'aurait imaginé que ce problème puisse être abordé de cette façon. Il a d'ailleurs reçu la medaille Fields pour ces travaux. Pareil pour Vaughan Jones qui a résolu des problèmes de théorie des noeuds en utilisant la topologie de basse dimension.
Ces mathématiciens ont eu un regard neuf que n'ont peut être plus les spécialistes. Etre trop pointu dans un domaine peut être une oeillère parce qu'on s'appuie trop sur les méthodes classiques.

Ce que je veux modestement remettre en cause c'est le fait que l'on puisse
poser à un problème l'étiquette 'hors de portée'. Si le problème l'est vraiment, en bon mathématicien j'attends une demonstration de cette assertion.
Le talent, c'est de résoudre des problèmes hors de portée.

Sylvain

Je suis entièrement de l'avis de choucroute garnie, bien que je préfère le chili con carne... :-)

borde

Je n'avais pas pris le terme de "non-spécialiste" sous cette définition-là. Pour moi, les exemples que tu donnes font appel à des spécialistes, mais pas nécessairement spécialisés dans la branche du problème qu'ils tentent de résoudre, quoiqu'en pratique j'imagine mal que ces gens ne soient tout de même pas (un peu) spécialistes dudit domaine.

A noter que je n'exclus pas le fait que quelqu'un (sans doute une équipe) ne puisse un jour donner une solution de HR. Mais, d'après ce que je connais sur ce problème, ce n'est pas, à mon avis, demain la veille.

A noter aussi qu'en 1965, Bombieri et Vinogradov ont démontré un résultat "proche" de HR, résultat qui constitue toujours à l'heure actuelle la plus grande avancée "vers" HR, et qui est d'ailleurs souvent utilisé "à défaut". Néanmoins, ni Weil, ni Bombieri, ni Vinogradov, ni...ni..., n'ont à ce jour obtenu une démonstration valable, et pourtant ces gens ont une "spécialité" différente.

Maintenant, il peut être vrai qu'être "trop proche" d'un domaine puisse empêcher d'avoir le recul nécessaire pour bien l'aborder. Mais ce n'est pas une condition suffisante pour le résoudre...

Borde.

borde

TheVelho,

Tout d'abord, HR donnerait immédiatement $$\pi(x) = \mbox {li}(x) + O \left ( x^{1/2} \ln x \right ),$$ qui serait optimal, puisque l'exposant du $x$ dans le terme d'erreur du TNP dépend explicitement de la partie réelle des zéros de $\zeta$ dans la bande critique. A noter que Rosser et Schoenfeld ont même donné, il y a 30 ans, une valeur explicite à la constante impliquée dans le grand $O$.

Je passe sur les formules annexes obtenues par sommation partielle pour $\theta(x) = \sum_{p \leqslant x} \ln p$ et $\Psi(x) = \sum_{n \leqslant x} \Lambda(n)$.

Surtout, on aurait en cascade la résolution de tout un tas de problèmes divers et variés sur lesquels pas mal de gens planchent toujours à l'heure actuelle en essayant de se passer de HR (problème des diviseurs de Dirichlet, problème du cercle, conjecture de densité qui elle-même résoudrait l'écart entre deux nombres premiers, et résoudrait des problèmes de sommes courtes pour certaines fonctions arithmétiques, etc).

En fait, la résolution de HR (et de ses cousines) terminerait aussi sec l'immense travail qui a été entrepris durant tout le 20ème siècle sur tous ces problèmes. Je ne crois pas que dans l'histoire des maths une conjecture résolue eût jamais entraîné autant de résolution de problèmes d'un seul coup.

Borde.

ptitloupfouchou

Je te rassure Borde (et Aleg), je n'ai pas pris ce document au sérieux, à cause justement de la phrase que tu as citée, mais aussi à cause des 23 pages : / ... mais surtout les posts antécédants des deux auteurs, et surtout le fait que leur papier ne se veut pas même pas être la démonstration de HR mais les conséquences physiques de leur démonstration de HR (qui donc semble être un lemme pour eux :X hum à quand HR en lycée ? ... )

Cependant comme je ne l'ai pas lu en entier et que j'ai du mal en anglais j'ai posté l'adresse pour en être certain et pour savoir où est-ce qu'ils disaient des conneries (dsl pour le mot) et s'il y avait tout de même quelques petites remarques intéressantes de n'importe quelle nature même si çà n'avance à rien pour HR ...

Sinon pour ma part je pense qu'à force de dire que les choses sont hors d'atteinte ben elles vont le devenir ... on n'en sait rien ... j'espère que je ne vais pas me tromper mais maintenant il n'y a pas que la démonstration de Wiles pour Fermat ... Comme quoi on a mis 200 ans ou plus je ne sais plus pour trouver une démonstration mais maintenant elles vont arriver avec une fréquence plus élevée ...

borde

J'avais bien compris que tu souhaitais une sorte de confirmation, et j'espère avoir répondu à cette attente.
<BR>
<BR>Quant à lire des articles (quels qu'ils soient), je ne peux qu'être d'accord avec toi : je conseille à tous ceux qui s'intéressent aux maths (ou à la physique, à la linguistique, à l'ethnologie, que sais-je encore...) de <I>lire des articles</I> écrits par des chercheurs dans le domaine dans lequel on veut travailler, même si on a peur de ne pas avoir le niveau (de toutes façons, il est assez rare que l'on comprenne vraiment tout). Pas de complexe à avoir ! Et Ptiloupfouchou a raison : à force, certains raisonnements deviennent (beaucoup) plus clair, et on arrive parfois à <I>anticiper</I> ce que va faire l'auteur quelques pages plus loin pour démontrer tel ou tel lemme ! C'est très formateur.
<BR>
<BR>Néanmoins, tous les articles ne se valent pas (l'exemple de Ptiloupfouchou est révélateur), donc il faut savoir séparer le bon grain de l'ivraie. Cela aussi, c'est très formateur.
<BR>
<BR>Borde.<BR>

luitzen brouwer

Borde, je viens de trouver un peu par hasard un extrait du discours de
Michael Freedman lors de la remise des médailles fields en 86. Je crois
qu'il vous intéressera, surtout dans les deux dernières phrases.

Amicalement.




"In the nineteenth century there was a movement, of which Steiner was a principal exponent, to keep geometry pure and ward off the depredations of algebra. Today I think we feel that much of the power of mathematics comes from combining insights from seemingly distant branches of the discipline. Mathematics is not so much a collection of different subjects as a way of thinking. As such, it may be applied to any branch of knowledge. I want to applaud the efforts now being made by mathematicians to publish ideas on education, energy, economics, defence, and world peace. Experience inside mathematics shows that it isn't necessary to be an old hand in an area to make a contribution. Outside mathematics the situation is less clear, but I cannot help feeling that there, too, it is a mistake to leave important issues entirely to experts. "

borde

Merci pour cette intéressante contribution, Luitzen Brouwer, mais, en ce qui concerne HR, mon opinion ne change pas. En particulier, l'avant-dernière phrase de cette interview <B>n'engage que son auteur</B> (qui a peut-être, depuis le temps, changé d'avis sur la question, d'ailleurs...). De plus, l'expression <I>to make a contribution</I> doit être, à mon sens, prise au sens large : on peut, certes, apporter une pierre à l'édifice (ce qui peut constituer déjà le travail de toute une vie), cela ne signifie pas pour autant "résoudre le problème".
<BR>
<BR>Mais, je le répète, ce n'est qu'une opinion (que j'ai voulu exposer ici, à titre purement personnel, et pour répondre à certaines interrogations), et ne doit être prise que dans ce sens.
<BR>
<BR>Borde.<BR>

choucroute garnie1

Excuse-moi, je suis l'auteur du post précédent et j'avais oublié de changer mon pseudo qui était à propos dans un autre fil, mais plus dans celui-ci.

Je voudrais si possible que tu me donnes une précision : est-ce que ton opinion serait que l'hypothèse de Riemann n'est démontrable que par des théoriciens des nombres ? Des spécialistes de géométrie arithmétique ?

Quand au message précédent, il m'a semblé pertinent par ce qu'il exprime autant que par celui qui l'exprime, Freedman étant supposé savoir de quoi il parle vu qu'il est médaillé Fields (ce qui ne veut pas dire qu'il soit omniscient, mais quand même). Quand à savoir s'il a changé d'avis, je ne crois pas (pas encore en tout cas) vu qu'aux dernière nouvelles, il s'applique à lui-même ce qu'il exprime ci-dessus.
D'ailleurs j'ai pu lire ce même point de vu dans les oeuvres complètes de Weil (ou il disait grosso-modo toujours s'arranger pour en savoir beaucoup plus que le profane, mais moins que le spécialiste) et dans les écrits post mathématique de Grothendieck.
Mais il est vrai que les mathématiciens ont des sensibilités et des modes d'approches différents.

Je te remercie d'avance pour ta réponse à ma première question.

borde

Pour moi (et, encore une fois, cela n'engage que moi, tu feras ta propre opinion toi-même sur ce problème), HR est très probablement vraie, mais ne trouvera une solution satisfaisante que parmi des arithméticiens très chevronnés, habitués à manipuler des concepts radicalement différents. Un candidat potentiel : Martin N. Huxley.

Borde.

choucroute garnie1

J'espère (en toute amitié) que tu te trompes et que cette démonstration viendra plutôt de la géométrie arithmétique (c'est mon côté "strucuraliste" démodé) parce que cela voudra dire que l'on aura bien avancé dans cette théorie et dans celle des motifs (ce qui aurait des répercussions très importantes entre autres sur le programme de Langlands).

borde

Il est vrai qu'un gros travail est fourni actuellement sur cette discipline, et ce, je pense, surtout depuis les travaux de Lafforgue.

Mais ma formation initiale me laisse penser que la solution viendrait d'un arithméticien analytique.

Qui vivra verra :-)

Borde.

choucroute garnie1

Je viens de me souvenir du cas de Preda Mihäilescu, un modeste ingenieur
qui à demontré en 2002 (dans le bus qui le ramenait du boulot selon la legende) la conjecture plus que centenaire de Catalan.
Il avait alors la quarantaine,comme quoi il n'y a pas d'age pour bien faire,
et cette decouverte lui a valu d'obtenir un poste à l'université allemande de Paderborn .

Guego0

Mihăilescu avait quand même une solide formation mathématique et sa preuve de la conjecture de Catalan s'appuie sur une réelle maîtrise des corps cyclotomiques et de la théorie de Galois. Donc, ça n'était pas n'importe quel amateur non plus...

choucroute garnie1

Je ne crois pas avoir dit que c'etait un amateur et je crois que c'est ce qui prête à confusion et qui a entrainé cette (interessante pour moi) discussion.
Je vais donc clarifier une deuxieme fois mon point de vue.

Ce que je prétends, c'est que quand on est spécialiste ou expert d'un domaine, on n'a plus la fraîcheur des débuts qui fait se poser des questions simples mais essentielles sur les concepts que l'on manipule. Qu'on le veuille ou non, il finit par se construire des consensus sur ce que l'on peut faire ou ne pas faire, ou sur ce que l'on doit faire pour résoudre un problème. C'est parfois justifié, parfois ça ne l'est pas.

C'est pourquoi parfois, surtout dans le cas des problèmes qui sont restés
sans solution pendant une longue période, il faut attendre un nouveau venu (soit un tout jeune mathématicien, soit quelqu'un qui ne travaille pas au contact des experts ) pour que le problème soit debloqué.
Je n'y peux rien, c'est un constat que je suis loin d'être le seul à faire.

Bien entendu, dans une science aussi cumulative que le sont les mathématiques, il faut une base solide pour pouvoir avancer, mais il y a une différence entre "acquérir les bases" et "être spécialiste".

Et Mihaïlescu malgré une formation de base mathématique (j'ai précisé qu'il était ingénieur) n'a pas une formation (officielle) approfondie dans les corps cyclotomiques (je crois même qu'il n'a passé son doctorat qu'après avoir résolu la conjecture de Catalan, c'est à dire récemment).
Et son originalité c'est justement d'avoir pensé à utiliser les corps cyclotomiques pour résoudre ce problème alors que les experts travaillaient tous dans une tout autre voie (combinatoire je crois) et étaient d'accord sur le fait que c'était la bonne.
Il a donc fallu un point de vue différent et quelque peu iconoclaste pour venir à bout du problème.

Je répète que je n'ai rien contre les spécialistes, en étant plus ou moins un,
mais ça ne m'empêche pas de voir qu'il n'y a pas que des avantages à l'être et je puis multiplier les exemples.

Ca ne veux pas dire qu'il suffit d'être nul pour avoir du talent.
Simplement quand on est 'neuf', on a moins de certitudes, on se pose plus de questions, et quand on est scientifique , il est essentiel de se poser des questions, même des questions qui peuvent paraître débiles aux dits experts.

Je pense être à peine provocateur en disant que ce qui fait la qualité d'un scientifique, ce n'est pas la qualité de ses réponses, mais celle de ses questions.

J'espère avoir été assez clair cette fois.

Je ne veux pas que cela ait l'air d'un argument d'autorité, mais après Grothendieck, Weil, Freedman et tant d'autres que j'ai déja cités à l'appui de mon argumentation, voici un petit texte de Harish-Chandra, autre mathématicien révolutionnaire dont les travaux sont peut-être familiers à certains sur ce forum.

[14] Harish-Chandra is quoted as saying that he believed that his lack of background in mathematics was in a way responsible for the novelty of his work :-

"I have often pondered over the roles of knowledge or experience, on the one hand, and imagination or intuition, on the other, in the process of discovery. I believe that there is a certain fundamental conflict between the two, and knowledge, by advocating caution, tends to inhibit the flight of imagination. Therefore, a certain naiveté, unburdened by conventional wisdom, can sometimes be a positive asset"

Je l'ai trouvé à l'adresse suivante :
<http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Harish-Chandra.html&gt;

Merci de votre patience.

choucroute garnie1

Pour ceux qui, veulent faire connaissance avec Harish-Chandra, vous pouvez vous initier aux fonctions modulaires dans le 'Godement' où il est régulièrement cité.

ricatego

Bien d'accord avec le dernier message de choucroute garnie: "<I>il faut une base solide pour pouvoir avancer, mais il y a une différence entre "acquerir les bases" et "être spécialiste"</I>".
<BR>
<BR>Perso, je pense que HR tombera sous les coups de quelqu'un qui n'est pas arithméticien à la base (que ce soit algébrique ou analytique), je verrai plutôt un dynamicien/probabiliste genre Green-Tao, Host-Kra...