irréductible et cyclotomique

ADSJ0

Bonjour, j'essaye de décrire les polynômes irréductibles sur $\Q$ qui admettent comme racines complexes des racines de l'unité et rien d'autre.
Je pense avoir démontré que ce sont les polynômes cyclotomiques.
Quelqu'un pourrait-il me dire si la preuve est juste? Merci

preuve: soit $P$ irréductible sur $\Q$ et $a_1,...,a_k$ ses racines. Elles vérifient $$ a_1^{i_1}=...=a_k^{i_k}=1.$$ Si on pose $n=ppcm(i_1,...,i_k)$, tous les $a_i$ sont racines de $X^n-1$.\\
Ainsi $$P / X^n-1=\prod_{d/n}\phi_d$$ où $\phi_d$ est le polynôme cyclotomique d'ordre $d$. Comme les $\phi_d$ sont distincts et irréductibles, on en déduit que $P$ est égal à l'un des $\phi_d$.

OlivierG0

Bonsoir,

Effectivement, ton raisonnement m'a l'air correct... même si j'ai mis un peu de temps à adhérer, car ta notation $P/X^{n}-1$ prête un peu à confusion ; je suppose que tu voulais dire $P|(X^{n}-1)$ :-)

Amicalement.
Olivier.

ADSJ0

Olivier, merci beaucoup pour ta lecture, oui tu as raison, c'est $P / (X^n-1)$. \\
Content que ça marche.

Trivecteur2

Ca me semblait clair vu que \\
1) une racine $n$-ème de l'unité $\zeta$ est toujours une racine primitive (pas forcément $n$-ème naturellment),\\
2) le polynôme minimal sur $\Q$ d'une racine primitive $N$-ème est justement $\Phi_N$.

ADSJ0

Merci Trivecteur pour ta remarque qui accélère les choses.

lolo33

Sinon pour la preuve initialement proposée il manque (à priori) les multiplicités. Tu ne peux affirmer directement P(X) | X^n -1 mais seulement
dire qu'il divise une puissance de ce polynôme.

lolo (bien sûr à posteriori ou par d'autres arguments c'est vrai)

OlivierG0

Pour lolo33 : comme $P$ est un polynôme irréductible sur $\Q$, toutes ses racines sont simples.

Amicalement.
Olivier.

lolo33

merci Olivier, je le savais mais ça devait être mis dans la preuve (à mon sens).

lolo

OlivierG0

Oui, en fait, je me doutais que tu savais :-) Après, ça dépend si ce résultat fait partie ou non des classiques dans le cours de adsj.

Amicalement.
Olivier.

ADSJ0

bonsoir, ne peut on pas justifier que $P/ (X^n-1)$ en faisant la division euclidienne de $X^n-1$ par $P$.\\
$X^n-1=PQ+R$ avec $\deg R

lolo33

c'est le même problème adsj : dire que R s'annule sur les racines de P ne suffit pas car on n'en a pas plus que le degré si on ne sait pas avant qu'elles sont simples.

lolo

ADSJ0

ok lolo33, c'est clair maintenant OUPS...
Merci