équation de cercles

kushi

Soit $\varepsilon$ un plan affine euclidien. Appelons\\
$C(\varepsilon)$ l'espace défini ainsi: on considère les courbes\\
dont une équation est de la forme\\
$$ f(M)=\alpha \| \overrightarrow{OM} \|^2 + 2 \overrightarrow{OM} \cdot u +c $$\\
pour $(\alpha,c) \in R^2$, et $u$ un vecteur du plan vectoriel $E$\\
dirigeant $\varepsilon$. L'espace $C(\varepsilon)$ est l'espace\\
projectif réel de dimension $3$ déduit de l'espace vectoriel réel\\
$$E\times R^2 = \{(u, \alpha, c)\}. $$ \\\\
\\
Montrer que $(u, \alpha ,c)$ définit l'équation d'un cercle ssi\\
$\alpha \neq 0$ et $\| u\|^2 - \alpha c > 0.$\\\\

J'avais déjà trouvé cette inéquation, mais en ce moment, je ne me souviens plus de mes calculs...

Aaarrgh

merci pour votre aide!!

Bruno

Fais une recherche sur le forum sur l'année en cours, j'ai déjà vu cela au printemps dernier.

Bruno

GerardA LA MAISON

Si tu n'as rien trouvé, tu peux traiter le cas $\alpha = 0$ puis factoriser $\alpha$ pour mettre sous la forme canonique (tu as reconnu, bien sûr, le discriminant réduit b²- ac).

Cordialement

stfj

Prenons l'espace affine $\epsilon\doteq \mathbb R^2$. J'imagine que le point $O$ de @kushi est un point arbitrairement choisi de $\epsilon$. Prenons l'origine de $\mathbb R^2$. Alors @kushi considère "les courbes dont une équation est de la forme $f((x,y))=\alpha(x^2+y^2)+2ax+2by+c$ où l'on a posé $u\doteq (a;b)$ et $M\doteq (x,y)$." 

Considérons une "courbe" $\mathscr C$ de la forme $$\mathscr C\doteq \{(x,y)\in \mathbb R^2: \alpha(x^2+y^2)+2ax+2by+c=0\}$$

* Si $\alpha=0$, ce n'est pas un cercle.

* Si $\alpha \neq 0$,

$$\mathscr C\doteq \{(x,y)\in \mathbb R^2: \left((x+\frac {a}{\alpha})^2+(y+\frac{b}{\alpha})^2 \right)-\frac{a^2}{\alpha^2}-\frac{b^2}{\alpha^2}+\frac{c}{\alpha}=0\}$$

C'est l'équation d'un cercle ssi $\frac{a^2}{\alpha^2}+\frac{b^2}{\alpha^2}-\frac{c}{\alpha}>0$ ssi $||u||^2>c\alpha.\square$

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On remarque que le quadruplet $(\lambda.\alpha,\lambda.2a,\lambda.2b,\lambda.c)$ pour n'importe quel $\lambda\neq 0$ fournit le même cercle $\mathscr C$.

On aimerait donc décrire $C(\epsilon)$ comme l'espace projectif réel de dimension $3$ déduit de l'espace vectoriel réel $$E\times R^2 = \{(u, \alpha, c)\}$$

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Mais justement le travail précédent montre que ce n'est pas possible. Par contre en utilisant $\mathbb C$ , on soupçonne qu'on disposera de plus de souplesse.

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Considérons par exemple $\mathscr C$, le cercle $$x^2+y^2-z^2=0$$ $$1:i:0\in \mathscr C,\, 1: -i:0 \in \mathscr C$$

Ici on a choisi $\mathcal L_{\infty}\doteq [0,0,1]$ comme droite à l'infini : on obtient alors les ombilics $I$ et $J$. $$\mathcal L_{\infty}\cdot I=0 \text{ et }\mathcal L_{\infty}\cdot J=0 $$

Les deux cercles $(A)$ et $(C)$ passent également par ces deux points à l'infini.

$$(A): x^2+y^2-4xz-8yz+19z^2=0$$

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Remarque : l'exercice d'OP semble provenir de la lecture de la partie COURS de Géométrie de M.Audin, p. 260.

stfj

J'aimerais illustrer la proposition VII.5.10 du cours en question : $$\boxed{\text{les tangentes aux points cycliques se coupent au centre de ce cercle.}}$$ Prenons $$(A)\simeq \begin{pmatrix}1 &0  &-2  \\0 &1  & -4 \\-2 & -4 & 19\end{pmatrix}$$et appliquons-lui les techniques vues à propos des coniques propres.

La tangente en $I=1:i:0$ est $$^tI\cdot (A)\simeq [1,i,-4i-2]$$

La tangente en $J=1: -i:0$ est $$^tJ\cdot (A)\simeq [1,-i,4i-2]$$

Leur intersection est le wedge : on$^1$ trouve $2:4:1$, qui est bien le centre. Il faut bien avouer qu'en dehors de tels calculs, toute la complexification prend peu de sens.

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$^1.-$

K1=vector([1,I,0])
A=matrix([[1,0,-2],[0,1,-4],[-2,-4,19]])
print(A*K1)
K2=vector([1,-I,0])
print(A*K2)
print ((A*K1).cross_product((A*K2)))

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sous sagemath.

stfj

On introduit ainsi si j'ai bien compris $\mathbb R^4\doteq \{(a,b,\lambda,c), a,b,c,d\in \mathbb R\}$; puis $\mathrm P_{\mathbb R}(\mathbb R^4)$, qu'on identifiera mieux en écrivant $$\begin{pmatrix}a & b & \lambda & c\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y \\x^2+y^2 \\1\end{pmatrix}$$

Les cercles visibles sont les éléments de $\mathrm P_{\mathbb R}(\mathbb R^4)$ pour lesquels $a^2+b^2-\lambda c>0$;

les cercles de rayon imaginaire ceux pour lesquels $a^2+b^2-\lambda c<0$;

les points (cercles de rayon nul) ceux pour lesquels $a^2+b^2-\lambda c=0$;

le point à l'infini $0:0:0:1$

et enfin les droites ceux pour lesquels $\lambda=0$.

La forme quadratique $$(a,b,\lambda,c)\to a^2+b^2-\lambda c$$joue donc un rôle important, toujours si j'ai bien compris. Où peut-on avoir une étude précise de tout ceci ? M.Audin fait référence à Géométrie de Marcel Berger.