Moyenne(s) mobile(s)

Sébatiduroc2

Bonjour,

j'ai un problème avec la définition d'une moyenne mobile (1ère ES).
Un collègue a fait l'observation que le Transmath donnait une définition différente des autres manuels.

Pour le transmath, la moyenne mobile d'ordre 3 est la moyenne arithmétique de xi, des 3 valeurs précédentes et des 3 valeurs suivantes.

Pour les autres, c'est la moyenne arithmétique de xi et des deux valeurs qui l'encadrent (soit 3 au total).

Pour Excel, c'est la moyenne arithmétique de xi et des 2 valeurs précédentes.

Bref, quel imbroglio !!!

Sachant que nos élèves auront le transmath, sachant que ni le programme, ni l'accompagnement ne précisent quelle définition adopter officiellement, et sachant que l'on doit leur faire calculer sur un tableur des moyennes mobiles, comment sortir de l'ornière ?????


Merci pour vos avis éclairés !

Sébatiduroc.

GERARD

Salut sébatiduroc.

Il n'y a pas de vrai problème (sauf Excel) : Il suffit de parler de moyenne mobile sur 3 valeurs (ou 4, ou 5 , ...) et de placer la moyenne mobile à sa plcace, c'est à dire au centre de gravité des dates. Pour 3 valeurs, c'est à la date centrale, pour 4 valeurs, entre la deuxième et la troisième (Si les valeurs sont celles des fins de mois de janvier, février, mars et avril, la moyenne est au 15 mars - on ne tient pas compte des différences de durée des mois).

Quand à Excel, comme souvent en statistiques, il fait n'importe quoi.

Cordialement

Richard André-Jeannin

Il existe plusieurs définitions des moyennes mobiles, mais celle donnée par Transmaths semble curieuse (il s'agit en fait d'une moyenne mobile d'ordre 7). La vraie définition (à l'ordre 3) est:
z(t)=1/3*(x(t-1)+x(t)+x(t+1)).

Dans le cas de l'ordre 4, ou d'un ordre pair), la définition de Gérard a l'inconvénient d'introduire des "demis-dates". On préfère en général utiliser les valeurs en 5 dates: (t-2), (t-1),t,(t+1), (t+2).
Pour obtenir 4 coefficients seulement, on affecte les dates extremes (t-2 et t+2) d'un coefficient 1/2, ce qui donne:
z(t)=1/4*(x(t-2)/2+x(t-1)+x(t)+x(t+1)+x(t+2)/2).

Dans certains domaines de la Finance (analyse technique), on utilise des moyennes mobiles unilatérales d'Excel, par exemple à l'ordre 3:
z(t)=1/3*(x(t-2)+x(t-1)+x(t))
Remarquons que cette fonction d'Excel est sans intérêt (les formules sont très faciles à entrer à la main).

GERARD

Salut RAJ.

Donc Excel ne fait pas tout à fait n'importe quoi. Je rectifie volontiers, d'autant qu'il y a d'autres idiosycrasies du tableur de Microsoft (Pas de fonctio "moyenne coefficientée", définition de la fonction Loi.normale : "si l'argument cumulative est FAUX, la fonction renvoie la probabilité suivant une loi normale pour qu'un événement se reproduise x fois exactement.", etc.).

Pour en revenir au programme de première ES, il me semble plus sain de traiter le plus simplement possible la notion, en privilégiant les moyennes mobiles sur un nombre impair de mois (Le cas pair pourrait faire l'objet d'un DM).

Cordialement

Richard André-Jeannin

Salut, GERARD

Je ne connais pas l'usage qui est fait des moyennes mobiles en 1 ES. Dans le cas d'une utilisation pour la décomposition d'une série chronologique, c'est le cas d'un ordre pair qui apparaît le plus souvent (ordre 4 pour une série trimestrielle, ordre 12 pour une série mensuelle). Pour éviter l'usage peu pratique des demis dates, on peut procéder comme suit (je prends un exemple numérique pour simplifier les notations):

z(2,5)=(x1+x2+x3+x4)/4
z(3,5)=(x2+x3+x4+x5)/4

L'idée naturelle est de définir z(3) comme la moyenne arithmétique de z(2,5) et de z(3,5):

z(3)=(z(2,5)+z(3,5))/2
=(0,5*x1+x2+x3+x4+0,5*x5)/4

De mon côté je gagne un peu de temps en définissant directement z(3) par la formule ci-dessus (on obtient bien une moyenne d'ordre 4, en accordant moins d'importance aux termes extrêmes).

Oliv2

pour les moyennes coefficientées, la fonction SOMMEPRODUIT convient tres bien

Richard André-Jeannin

D'accord. Mais elle devient lourde à manipuler au niveau du calcul de la variance.

Sébatiduroc2

Oliv à dit :
<BR><I>"pour les moyennes coefficientées, la fonction SOMMEPRODUIT convient tres bien "</I>
<BR>
<BR>
<BR>La fonction SOMMEPROD n'est pas terrible. Si jamais il manque une note à un élève, il faut ré-écrire la formule pour lui. L'idéal est de créer une fonction dérivée de SOMMEPROD qui ajoute une condition d'exitence d'un contenu numérique dans la cellule note.
<BR>
<BR>Je vais me ranger à l'avis de GERARD, en remerciant tous ceux qui ont participé.<BR>

Sébatiduroc2

"condition d'existance", désolé...

Sébatiduroc2

Oups, il est temps d'aller dormir. Merci aux modérateurs d'effacer ce message ainsi que le précédent....

Richard André-Jeannin

Je n'ai jamais essayé SOMMEPROD avec des données manquantes. Je vais regarder demain.

Topi

Bonjour,

Je ne vois pas pourquoi ce serait la définition d'Excel qui serait erronnée. Il s'agit d'une définition. L'avantage de la définition d'Excel est qu'on construit ainsi un objet qui ne tient compte que du passé. En traitement du signal on dirait que le filtre, car c'est bien de cela qu'il s'agit, est causal. En probabilité, on dirait qu'on a ainsi construit un signal adapté ou non anticipant. Cette définition a ainsi l'avantage d'être utilisable dans un contexte de détection/prédiction. Ce n'est pas le cas pour les autres définitions.

Just my two pence worth...

Richard André-Jeannin

Je suis d'accord avec vous. Les moyennes mobiles "dans le passé" ont leur importance. J'ai cité un cas en Finance, vous en donnez un autre.

Sébatiduroc2

Voici une fonction Excel à insérer dans un module public, qui m'a été donnée par bbil sur developpez.com.

Public Function mg(cref As Range, ind As Integer) As Double
Dim iDeb As Integer 'Nombre de lignes au dessus cellule de référence
Dim iFin As Integer 'Nombre de lignes en dessous cellule de référence
Dim r As Range 'Plage pour laquelle la moyenne est calculée
iDeb = ((ind - 1) / 2)
iFin = (ind - 1) - iDeb
Set r = Range(cref.Offset(-iDeb, 0), cref.Offset(iFin, 0))
Debug.Print r.Address
mg = Application.WorksheetFunction.Average(r)
End Function

On rajoute un petit "ascenceur" pour faire varier le pas de la moyenne mobile, et un graphique pour observer un phénomène a priori surprenant :

Imaginons des données sinusoïdales. Par exemple les températures mensuelles moyennes sur 10 ans.

On peut être tenté d'utiliser les moyennes mobiles sur 3 mois pour percevoir les variations saisonnières... On obtient une courbe lissée, où les crêtes ont, logiquement, été gommées.

On peut être tenté d'utiliser les moyennes mobiles sur 12 mois pour percevoir les variations annuelles... On obtient une courbe où les crêtes se reforment, mais dans le sens contraire de la courbe initiale : les mois des minima deviennent ceux des maxima !!!

Je vous laisse analyser cette jolie situation pédagogique...

Bref, le résultat est sympa à observer en dynamique, et à commenter...

Cordialement,

Sébatiduroc.

Sébatiduroc2

Au fait, RAJ, as-tu enseigné en Polynésie il y a quelques années ? (Joker autorisé...)

Richard André-Jeannin

Non, c'est mon pote Alban qui navigue dans ces régions là. De mon côté, je n'ai jamais enseigné plus loin qu'en Tunisie. C'est mon côté casanier.

Richard André-Jeannin

Au fait, sébatitduroc, je ne vois pas le problème avec SOMMEPROD, lorsqu'il manque des notes. C'est au niveau du calcul de la moyenne qu'il faut ruser. Un bon usage de la fonction NB.Si permet de résoudre le problème. J'ai écrit une petite formule toute bête sur ce sujet. Je regarderai demain.

GERARD

Salut à tous.

En réponse au message de Topi, que je ne conteste pas, je m'explique : Excel a ét programmé par des développeurs qui ont copié dans la "littérature" les méthodes classiques. Mais ils n'étaient pas spécialistes de la discipline corespondante, et ont, en général utilisé une seule référence (De très nombreux développeurs font ça tous les jours, et j'en connais). Si la référence est générale, pas de problème. Mais les références utilisées en stats sont, pour les fonctions simples, très connotées "finances", ce qui fait qu'elles ont parfois très peu utiles. Il y a aussi des erreurs de conceptions.
Mais ceci est évidemment peu important pour une société qui a inventé de nouveaux moyens de perturber les ordinateurs avec les textes qui peuvent modifier le système d'exploitation (macros de word = virus) et autres idiosyncrasies. Ce serait sans grand intérêt si Excel n'était pas actuellement une "référence".

Cordialement