polynome de degre infini

racinedecheveux

Bonjour!
Je me pose une petite question dans le cadre des series entieres:
Est-ce qu'une serie entiere peut etre consideree comme un polynome de degre infini?
Ou plus precisemment est-ce que la somme $f$ d'une serie entiere
definie sur le disque ouvert de convergence de la serie, peut etre
consideree comme une fonction associee à un polynome de degre infini.
En somme, si c'est le cas, les fonctions cos, sin, ... sont des
fonctions associees à des polynomes de degre infini.
merci d'avance.

amicalement

Sylvain

Personnellement, c'est comme ça que je vois les choses:une série entière est un polynôme infini. Je pense d'ailleurs qu'Euler lui-même partageait cette conception. Mais ce n'est pas peut-être pas une formulation très rigoureuse de cette notion.

AlexB

Non seulement Euler partageait cette conception mais il l'a employé dans certaines "démonstrations" (entre guillemets car elles manquent aujourd'hui de rigueur). Par exemple, partant de :
$$P(x)=\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots$$
et notant que les "racines" du "polynôme" $P$ sont les $k\pi$ avec $k\in\Z$, $k\neq 0$ et sachant de plus que $P(0)=1$, il "factorise" $P$ sous la forme :
$$P(x)=\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\cdots$$
soit :
$$P(x)=\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$$
Il développe ensuite partiellement cette expression pour trouver le coefficient de $x^2$ qui vaut :
$$-\frac{1}{\pi^2}-\frac{1}{4\pi^2}-\frac{1}{9\pi^2}-\cdots$$
d'où par identification avec la première écriture de $P(x)$ la célèbre identité :
$$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$$
(je viens de tirer ceci du livre "Euler the master of us all, William Dunham, très bon bouquin).

Alex.

ryo

Si je ne me trompe pas, un polynome de degre infini s'appelle plutot une serie formelle.
En gros on se retrouve avec un truc du genre $f(X)=\sum{n=0}{+\infty} a_nX^n$
Donc la difference avec un polynome c'est que la on ne parle de degre forcement.
Et la difference avec une serie de fonctions $g(x)=\sum{n=0}{+\infty} b_nx^n$, c'est qu'on ne s'occupe pas de savoir pour quels $x$ cette serie converge.

Mais je sais pas si on fait une erreur monumentale si on se pense en terme de polynome de degre infini plutot que de serie formelle

rnl0

Très jolie la "démo" d'Euler Juste, est-ce que ça pourrait facilement être rendu rigoureux?

jean lismonde

bonjour

un développement en monômes pour une fonction est en effet un polynôme de degré infini défini dans l'intervalle de convergence de la série

quant au produit eulérien donné par AlexB il est authentique

Euler avait fait dans une première approche en effet ce raisonnement

mais il a donné ensuite une démonstration plus rigoureuse avec l'expression paramétrée An(x) qu'il a factorisée et dont il a cherché la limite pour n infini (la limite est sin(pi.x)/pi.x)

An(x)=[(1+ix/n)^n - (1-ix/n)^n]/2i

il existe d'autres méthodes pour déterminer le produit eulérien en particulier avec les formules trigo de sin(nx) en fonction de n et x c'est-à-dire les polynômes de Tchebychev

cordialement

racinedecheveux

Bonjour!
La demonstration d'Euler me fait jaillir des questions comme du pop-corn;
en outre: supposons un polynome de degre n admettant n racines; son ecriture est:
$P(x) = \sum_{k=0}^{n}a_k x^k = \prod_{k=0}^{n} (X-r_k)$
Si on rajoute l'hypothese: $P(0) = 1$ est on sur que l'ecriture du polynome
est de la forme: $\prod_{k=0}^{n} (1- tx)$ $t\in \R$.
Il est clair qu'elle convient mais est on sur que tout polynome à n racines avec $p(0)=1$ s'ecrit ainsi?

amicalement