Intégrale d'une fonction Riemann-intégrable

Rouliane

Bonsoir,

J'ai une petite question à propos de la définition de l'intégrale d'une fonction Riemann-intégrable :
On peut lire dans le Gourdon ( à la suite de la définition d'une fonction Riemann-intégrable ):

{\bf Définition 5 ( Intégrale d'une fonction Riemann-intégrable ) }: Soit $f$ : $[a,b]$ --> $E$ une fonction Riemann-intégrable. En donnant à $\epsilon$ les valeurs d'une suite $(\epsilon_n)$ positive et tendant vers 0, on voit qu'il existe 2 suites $(\Phi_n)$ et $(\mu_n)$ de fonctions en escalier sur $[a,b]$ telles que :

$$ (i) \forall n , ||f-\Phi_n|| \leq \mu_n $$
$$ (ii) \lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{a}^{b} \mu_n(x)dx=0 $$

Ma question est la suivante : ne devrait-on pas plutot dire : "on voit qu'il existe 2 suites $(\Phi_n)$ et $(\mu_n)$ de fonctions en escalier {\bf positives} sur $[a,b]$ telles que ........"

Au moins pour $(\mu_n)$, car sinon l'assertion $ \forall n , ||f-\Phi_n|| \leq \mu_n $ n'a pas de sens, non ?

Merci de m'éclairer sur ce point,

Rouliane

corentin

$\phi_n$ n'est certainement pas positive puisqu'elle est à valeurs dans $E$.
Par contre la positivité de $\mu_n$ est vraie, mais l'auteur n'a juste pas jugé nécessaire de le mentionner (ce que je ne trouve pas choquant).

Rouliane

Merci Corentin.

Je ne trouve pas choquant non plus de ne pas le mentionner, mais je voulais m'en assurer tout de même.

Alain Debreil

Bonsoir Roulianne

"On voit qu'il existe $(\mu_n)$ telle que $\displaystyle (i)\ \forall n , \ \vert\vert f-\Phi_n\vert\vert \leq \mu_n $ "

Il me semble que les $\mu_n$ sont positifs, c'est une conséquence de l'une de leurs propriétés, Ne crois-tu pas ?

Alain

Rouliane

Oui, effectivement Alain, plus le temps passe et plus je me dis que ma question est idiote :-)

Rouliane

Bonjour,

J'aurais une petite question sur la définition d'une fonction Riemann-intégrable, que je n'arrive pas à me "représenter" .

On dit qu'une fonction f de $[a,b]$ dans $E$ est Riemann-intégrable si, pour tout $\displaystyle{\epsilon > 0}$, il existe des fonctions en escaliers $\Phi$ : $[a,b]$ --> $E$ et $\mu$ : $[a,b]$ --> $\R$ , telles que :

$$ (i) \forall t \in [a,b] , ||f(t)-\Phi(t)|| \leq \mu(t)$$
$$ (ii) \int_{a}^{b}\mu(x)dx \leq \epsilon $$


Je n'arrive pas trop à visualiser cette définition.

Si la fonction f est à valeurs dans $\R$, c'est équivalent à l'existence de 2 fonctions en escaliers $\Phi$ et $\Psi$ telles que $\Phi \leq f \leq \Psi$ et $\int_a^b \Psi-\Phi \leq \epsilon $. Dans ce cas là, j'arrive bien à visualiser ce que ça représente, mais je n'y arrive pas dans le cas général.

Merci de m'aider

Rouliane

penec

En fait , je pense que l'intégrale de $\Phi$ est un approximation uniforme au sens la norme intégrale sur [a;b] ,de l'intégrale de f.
On pourrait peut etre?dire que cette définition revient à ton la définition de ton premier message , c'est à dire se donner un suite $\Phi$ indice n qui converge uniformément au sens de la norme intégrale vers l'intégrale de f.

Donc, en gros, on peut approximer avec la précision que l'on veut (le fameux $\displaystyle{\epsilon > 0}$) l'intégrale de f par celle d'une fonction en éscalier et
abs(int(f)=int (f - $\Phi$+ $\Phi$)
< $\displaystyle{\epsilon}$ + int ($\Phi$))

Mais je pense que tu as deja compris tout ça??

Rouliane

J'avais à peu près compris en effet, même si je ne sais pas ce qu'est la "norme intégrale". Mais merci quand même ;-)

Mais c'est surtout l'assertion (i) de mon message de 13:11 que je n'arrive pas à visualiser : la norme d'une différence de fonction plus petite qu'une fonction en escalier ....
Mais c'est pas bien grave de toute façon...

Rouliane

Je viens encore vous embeter avec mes questions : Je ne vopis pas trop comment montrer que la fonction f définie sur $[0,1]$ par $f(x) = sin(\frac{1}{x})$ si $x \neq 0$ et $f(0)=0$ n'est pas réglée .


C'est un exemple du Gourdon pour montrer qu'on peut avoir une fonction intégrable mais non réglée.
Pour l'intégrabilité, y'a pas de problème, elle est localement intégrable sur ]0,1[ et bornée sur [0,1]. Mais je nois pas comment montrer qu'elle n'est pas réglée ? dois-je revenir à la définition ?

Merci

Aleg

rouliane,
ta fct n'admet pas de limite à droite en $0$ (la seule valeur possible de cette limite étant $f(0)=0$, on voit facilement avec des suites que ce ne peut être la limite) donc elle n'est pas réglée.

Rouliane

Merci Aleg.

Après quelques recherches, j'imagine que tu utilises la théorème suivant : " f réglée ssi elle admet une limite à droite et à gauche en tout point "

Je ne connaissais pas ce théorème, va falloir que je le note dans mes p'tits papiers ! ( Il n'est pas dans le Gourdon en tout cas, ou je ne l'ai pas vu )

Aleg

oui, et, à mon avis, il est même intuitivement préférable de prendre cette caractéristique comme <B>définition</B> d'une fct réglée.
<BR>C'est bien dans le Gourdon (page 96) mais c'est dit d'une façon un peu indirecte : "une fct est réglée si ses éventuels points de discontinuité sont de première espèce" (première espèce = avec existence des limite à droite et limite à gauche mais de valeurs différentes). Ce qui veut dire qu'en chaque point, on a existence des limite à droite et limite à gauche (à adapter aux bornes évidemment).<BR>

Aleg

je précise un détail : discontinuité de première espèce = avec existence des limite à droite et limite à gauche et les trois réels $f(x^-),f(x),f(x^+)$ n'ont pas la même valeur.

Rouliane

Merci Aleg, effectivement, je me rappelle de cette définition.

J'étais passé rapidement dessus, me basant plutot sur la définition comme limite uniforme de fonctions en escalier. Je ne savais pas qu'elle était si importante.

Rouliane

Je vous emebete encore un peu avec un exercice :

Je suis en train de faire l'exercice 2p.128 du Gourdon, dont voici l'énoncé :

"Soit $f$ : $[a,b]$ --> $\R$ une fonction positive et continue sur $[a,b]$.

a) Montrer que $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} (\int_{a}^{b}f(t)^ndt)^{\displaystyle{\frac{1}{n}}}=M}$ où $M =\sup_{t \in [a,b]}f(t)$

---

Voici brièvement la solution de l'exercice :
$\forall n \in \N$ , on a $(\int_{a}^{b}f(t)^ndt)^{\displaystyle{\frac{1}{n}}} \leq (b-a)^{\frac{1}{n}}M$

f étant continue, il existe $c$ dans $[a,b]$ tel que $f(c)=M$.
Pour tout $\epsilon >0$, il existe un segment $[\alpha,\beta]$ contenant c tel que :
$$\forall t \in [\alpha,\beta] , f(t) \geq (M-\epsilon)$$

On montre alors que $(\int_{a}^{b}f(t)^ndt)^{\displaystyle{\frac{1}{n}}} \geq (\beta-\alpha)^{\frac{1}{n}}(M-\epsilon)$

On a donc :$$\fbox{(\beta-\alpha)^{\frac{1}{n}}(M-\epsilon) \leq (\int_{a}^{b}f(t)^ndt)^{\displaystyle{\frac{1}{n}}} \leq (b-a)^{\frac{1}{n}}M}$$

Et c'est à partir de ce moment là que je ne comprends pas la solution de l'exercice :
Voici ce qui est écrit :

Comme $\lim_{n \rightarrow +\infty}\mu^n=1$ pour tout $\mu >0$, on a donc :

$\exists N \in \N$*, $\forall n \geq N$,$(M-2\epsilon) \leq (\int_{a}^{b}f(t)^ndt)^{\displaystyle{\frac{1}{n}}} \leq M+\epsilon$

Mon problème est là : je ne comprends pas d'où sortent les $M-2\epsilon$ et $M+\epsilon$.

Pour ma part, j'arrive à l'inégalité suivante, en utlisant le fait que $\lim_{n \rightarrow +\infty}\mu^n=1$ :

$\exists N \in \N$*, $\forall n \geq N$,$(1-\epsilon)(M-\epsilon) \leq (\int_{a}^{b}f(t)^ndt)^{\displaystyle{\frac{1}{n}}} \leq M(1+\epsilon)$

Queqlu'un pourrait m'expliquer la correction de cet exercice?
Merci

penec

En fait au lieu de prendre epsilon pour exprimer la limite de mu^(1/n) tu prends epsilon/M et je pense que ça abouti à ce que tu veux.
amicalement.

Rouliane

Mais oui évidemment, merci beaucoup Penec !

J'ai un autre petit problème pour l'exercice 5 p. 130 du Gourdon :

Soit $f$ : $[0,1]$ --> $\R$ une fonction de classe $C^1$ telle que $0 \leq f'(t) \leq 1$ pour $t \in [0,1]$.
Montrez que :
$$\int_0^1 f(x)^3dx \leq (\int_0^1 f(x)dx)^2$$

Dans la solution de l'exercice, le correcteur avance que $f \geq 0$ car $f'$ est positive ( ok) et $f(0)=0$ !
Or la condition $f(0)=0$ n'est pas une hypothèse de l'exercice, d'où celà vient-il ? ( peut-on arriver à $f(0)=0$ uniquement avec les données de l'énoncé, ou est-ce un oubli dans l'énoncé ? )

Merci,

Rouliane

Eric

Je n'ai pas le Gourdon mais l'exercice est classique et oui, il faut l'hypothèse $f(0)=0$ (du moins elle y est dans les deux bouquins que j'ai sous la main et où se trouve cet exercice).

Rouliane

Merci Eric.

Elle n'est pas dans le Gourdon analyse alors.
Forcement sans cette hypothèse c'est un peu plus difficile de résoudre l'exo )

Aleg

Sans l'hypothèse $f(0)=0$, le résultat devient faux. prendre n'importe quelle fct constante de valeur supérieure à 1.

Rouliane

Oui, effectivement !

Toujours conçernant l'intégration, j'ai un souci pour l'exo 9 p. 134 du Gourdon.

f : $[a,b]$ --> $\R$ étant une fonction intégrable.
On suppose que $f(x) >0$ pour $x$ dans $[a,b]$. Il faut montrer alors que $\int_a^b f(x)dx >0$.

Le but de la solution de l'exercice est de supposer que $\int_a^b f(x)dx =0$ et d'arriver à une absurdité.
( sachant qu'on de toute façon $\int_a^b f(x)dx \geq 0$)

Je comprends la solution de l'exercice, sauf à un moment où le correcteur dit :

" Soit $\epsilon >0$ . Comme $f$ est intégrable sur $[a,b]$ et que son intégrale est nulle, il existe une fonction $\Phi$ en escalier sur $[a,b]$ telle que :

$\forall x \in [a,b] , f(x) \leq \Phi(x)$ et $\int_a^b \Phi(x)dx

Aleg

Rouliane, c'est pareil : comme on peut faire le raisonnement avec n'importe quel réel >0 fixé, on le fait avec le réel $\varepsilon (b-a)>0$.
Si tu veux, au lieu d'écrire au début : "soit $\varepsilon >0$ fixé ", tu peux écrire "soit $\varepsilon (b-a) >0$ fixé ", mais ça fait moche...

à part ça, tu l'apprends par coeur le Gourdon ??
Si c'est pour l'agreg, ne t'attarde pas trop sur les questions de Riemann-intégrabilité...

Rouliane

Merci.

lol non je ne l'apprends pas par coeur, mais je fais tous les exos du Gourdon, et je "bug" souvent )

Sinon, effectivement c'est pour l'agreg, mais je préfère quand mêem bien comprendre la Riemann-intégrabilité, mêem si elle ne me servira pas beaucoup pour le concours ...

Eric

Si c'est pour l'agreg, tu peux oublier l'exo où il manquait une hypothèse, c'est vraiment trop léger comme développement (même à l'interne). Si tu cherches des inégalités intégrales intéressantes, tu devrais regarder du côté des inégalités de Jefferson et de Opial et leurs généralisations, c'est déjà plus sérieux.

Rouliane

Merci pour ces précisions.

Par contre, je ne bosse pas ces exos en vue de les proposer comme développements, mais comme une remise à niveau prépa ;-)

Avant de prétendre aller à l'oral, faut déjà passer par l'écrit, et ça n'est pas une mince affaire pour moi

skippy0

Salut Rouliane,
Detenteur du capes depuis juillet 2006, j'ai demandé et obtenu mon report de stage pour préparer l'agrégation cette année.
Quand je me pose 30 secondes et réfléchis à ce qui m'attends, ca fait limite froid dans le dos (ce qui aurait été pratique en période de canicule), mais en même temps ca va être un plaisir de bosser tout ça.
J'ai d'ailleurs commencé (tout doucement) à me remettre à bosser et j'ai choisi l'intégration de Lebesgue et théorie de la mesure qui est tombée dans les deux derniers sujets d'agreg.
Tout ça pour dire :
Mes chances d'avoir l'agreg : 0.1% mais j'y crois à fond quand même
N'était-ce pas toi qui cherchait des gens avec qui bosser via un forum ?
Ou je disjoncte complètement vu l'heure...
Personnellement, cela m'intéresserait d'échanger des idées sur les 101 lecons d'agreg.
A +

Rouliane

Salut Skippy,

Effectivement, c'est moi qui cherchait du monde : sur le forum Mathematex, ils ont ouvert une section agrégation, et l'idée est d'etre un groupe de quelques personnes afin de se motiver et d'échanger des idées, des points de vue, etc ...
Voici l'adresse du forum : <http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php&gt;

C'est bien de se lancer dans l'agrégation, pour ma part, je ne me fixe pas comme objectif d'avoir le concours, mais plutot d'apprendre des choses nouvelles. Evidemment, on a moins de pression quand on a le Capes car c'est pas trop grave de rater l'agreg.

Pour ma part, cette année, mon objectif est d'etre admissible, et c'est déjà un gros objectif pour moi )

Tu dois avoir un bon niveau si tu te lances directement dans la théorie de la mesure. Pour ma part, je bosse le programme de prépa jusqu'au mois d'octobre, afin de remettre toutes mes connaissances et de maitriser à peu près le programme MP ( je dis bien à peu près ).
Ensuite, à partir de novembre, je me lance dans les nouveautés : en algèbre, en analyse complexe et fonctionnelle etc ...Bref, ça va etre court mais bon, on verra bien !

En tout cas bon courage à toi, pour l'instant je suis motivé, j'espère qu'il en est de même pour toi et que la motivation restera intacte toute l'année !

Rouliane

skippy0

Salut Rouliane,
Je n'ai absolument pas un bon niveau en maths, mais c'est le premier truc sympa et motivant qui m'est venu à l'esprit, et que j'arrive à peu près à comprendre (je dois dire qu'à l'époque, en licence, je n'ai pas compris grand chose).
Au départ, j'avais commencé par de la géometrie projective que je n'avais jamais vu, et cela m'a vite calmé je dois dire..
A ce sujet la, tu connaitrais un bon livre de géometrie projective pour les débutants?
Quand à mon objectif pour l'agreg, si je suis admissible, ce sera déjà une grande victoire..

skippy

Rouliane

Non, désolé, je ne connais pas de bouquins sur la géométrie projective, tu trouveras peut-etre ton bonheur en faisant une recherche sur le forum.
Je n'aime pas la géométrie de base, alors la géométrie projective ))

Rouliane

Me revoilà avec mes intégrales

J'ai un p'tit souci pour le problème 2 d'intégration du Gourdon :

On considère l'application $F$ : $[0,1[$ --> $\R$ $x$ --> $\int_x^{x^2} \frac{dt}{ln(t)}$

Montrer l'existence de $lim_{x\rightarrow 1^{-}} F(x)$ et calculer cette limite.

Voici la correction : Pour tout $x$ de $[0,1[$, on a :

$ \forall t \in [x^2,x]$ , $\frac{x^2}{t ln(t)} \leq \frac{1}{ ln(t)} \leq \frac{x}{t ln(t)}$ $(*)$

Donc, par intégration : $$ x^2 \int_x^{x^2}\frac{dt}{t ln(t)} \leq F(x) \leq x\int_x^{x^2}\frac{dt}{t ln(t)}$$

---

Mon problème est là : pour moi, cette dernière inégalité est inversée !
En effet, si on intègre $(*)$ entre $x^2$ et $x$ ( $x^2 < x$ ), on a :
$$ x^2 \int_{x^2}^{x}\frac{dt}{t ln(t)} \leq \int_{x^2}^x \frac{dt}{lnt} \leq x\int_{x^2}^{x}\frac{dt}{t ln(t)}$$ d'où :
$$ x^2 \int_x^{x^2}\frac{dt}{t ln(t)} \geq F(x) \geq x\int_x^{x^2}\frac{dt}{t ln(t)}$$

non ?

Merci,

Rouliane.

Elvis2

Bonsoir Rouliane,
C'est plutôt dans (*) qu'il faut changer le sens des inégalités car lnt est négatif entre 0 et 1. Par contre il faudrait exclure aussi 0 pour ce qui est des valeurs possibles de x.

Rouliane

Ben oui, évidemment, merci Elvis !