Fonctions convexe - exercice du Gourdon

Rouliane

Bonsoir,

J'ai un petit problème avec un exercice du Gourdon, dont voici l'énoncé :

" Soient $I$ un intervalle de $\R$ , et $f$ : $I$ $\longrightarrow$ $\R$ une application.
Montrez que $f$ est convexe ssi pour tout sous intervalle fermé $[a,b]$ de $I$ et pour tout $\lambda \in \R$, l'application $\Phi$ : $[a,b]$ $\longrightarrow$ $\R$ $x$ $\longrightarrow$ $f(x) + \lambda x$ est bornée sur $[a,b]$ et atteint sa borne sup en $a$ ou $b$ . "

Voici la correction :

"${\it Condition nécéssaire}$ : Soit $[a,b]$un sous intervalle fermé de $I$ et $\lambda \in \R$ . L'application $\Phi$ est convexe comme somme de fonctions convexes.
L'un des réels $\Phi(a) , \Phi(b)$ est donc la borne supérieure car si $M = Sup(\Phi(a) , \Phi(b))$,

$\displaystyle{\forall \lambda \in [0,1], \Phi[\lambda a + (1-\lambda)b] \leq \lambda \Phi(a) + (1-\lambda) \Phi(b) \leq \lambda M + (1-\lambda)M = M}$"

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Voilà, ce qui me gène, c'est que dans la correction, on ne montre pas que la fonction est bornée !
Enfin, j'ai du mal à voir le sens de cette correction ....

Merci de m'éclairer,

Rouliane

GuYem

En effet, il n'est pas clairement DIT que phi est bornée, mais elle l'est puisqu'on met même en évidence un endroit ou cette borne est atteinte !

Aleg

Rouliane,
de toute façon, une fct convexe sur $[a;b]$ est bornée (et admet même un maximum en $a$ ou en $b$), donc ça vaut aussi pour $\Phi $.

Rouliane

Merci à vous.

Justement Aleg, on montre comment qu'elle est bornée ?

Aleg

soit $\varphi $ convexe sur $[a;b]$ ($a

Rouliane

Merci beaucoup Aleg !

La majoration était en effet évidente, c'est sur la minoration que je n'arrivais pas.

Je note tout ça dans mes p'tits papiers

penec

J'aurais une autre idée moins technique et plus géométrique pour la minoration dans le cas où f est dérivable.
On sait que la courbe de Phi est au dessus des ses tangentes donc en prenant n'importe quelle tangente qui est minorée sur [a;b] ,car c'est une fonction affine, on obtient la minoration.

Peut-on généraliser un tel raisonnement dans le cas général, à moins que la méthode d'aleg soir issue d'un raisonnement géomètrique?

Rouliane

Merci Penec, c'est effectivement immédiat.

A ce propos, tu dis "dans le cas où f est dérivable", mais existe-t-il des fonctions convexes non dérivables, et si oui, auriez-vous un exemple ?

Merci .

Eric

La fonction valeur absolue est convexe sur $\R$ et non-dérivable sur cet ensemble.

Rouliane

Mais oui, évidemment, merci !!

On montre facilement la convexité avec l'inégalité triangulaire, c'est bien ça ?

penec

Pour la minoration , il suffit en fait d'une seule tangente dans de la derivabilité en un seul point.
On cherche alors une fonction phi convexe sur un intervalle [a;b] dérivable nulle part.
Si il n'en existe pas , mon raisonnement géomètrique reste valable.
Mais je réitére quand meme ma question quant au raisonnement d'Aleg.
Y a t-il un point de vue géomètrique qui nous améne à poser ce tx ?

penec

Mais ya la prop 3 pas 94 du gourdon qui dit aussi toute fonction convexe sur I admet en tout point de l'interieur de I une derivée à droite et une droite à gauche,donc là je pense que notre fonction convexe sur [a,b] est minorée par exemple par le max d'une demi tangente à gauche en un point de l'interieur.
Qu'en pensez-vous?

MrocdeMorgat0

Bonjour.

Une idée géométrique simple pour montrer qu'une fonction convexe sur un segment [a,b] est minorée:

on note c le milieu de [a,b]; sur [c,b], la courbe de f est au dessus de la sécante qui passe par les points d'abscisses a et c, ce qui assure que f est minorée sur [c,b]. On procède de même sur [a,c].

Mroc.

Rouliane

MrocdeMorgat, je ne comprends pas ton raisonnement, car il me semble que pour une fonction convexe sur I , pour tout point A et B d'abscisse a et b ( a et b dans I) , la courbe f est <B>au dessous</B> de la corde [AB] .<BR>

MrocdeMorgat0

A la place de la corde (qui est un segment), prenons la sécante (qui est la droite qui contient le segment).

Pour les x compris entre a et b, la courbe est sous la sécante; mais pour les x à l'extérieur de [a,b], la courbe est au dessus de la sécante.

penec

En regardant la demonstration de la continuité d'une fonction convexe sur son interieur, l'idée que la courbe est au dessus de la sécante est utilisée et cet argument est trés intuitif car visible sur un dessin.
Merci ,MrocdeMorgat