Une histoire de normes

Voilà je fais une analogie, tout ce qu'il y a de plus élementaire mais je me demande si en fait y a pas un peu plus qu'une similitude de résultats, si on peut trouver un truc plus général sur les normes?

Voici donc: Sur les normes de fonction de types (avec les bonnes hypothèses sur f)
N(f)n=($\int_{a}^{b} f^n$)^(1/n)
on a quand n->+inf, N(f)inf= M où M, sup de f sur (a;b)

Et les normes du style: N(x)n=($\sum_{i=0}^{k} (x_i)^n$)^(1/n)
on a de même quand n->+inf, N(f)inf= M où M, sup des xi...

Deux résultats assez analogues, non?

Surtout que la démo de ces deux résultats est totalement différentes...

En espérant avoir été assez clair, merci par avance pour toutes vos contributions!

Réponses

  • Ces résultats sont complètement analogues, et je ne trouve pas leur preuve si différente (du moins celle que je connais).
    Ils s'inscrivent dans la théorie de l'intégration qu'on voit en L3 (théorie de la mesure), où la sommation et l'intégrale de Riemann ne sont que des intégrales pour des mesures particulières.
    Je vais pas disgresser là dessus, mais pour info on définit les espaces $L^p([a,b])$ des fonctions de puissance p intégrable, et $l^p(\N)$ espace des suites de puissance p sommable.
    Tout ça pour dire que c'est pareil.
  • Ok merci Corentin, je vais donc devoir encore un peu patienter...
    car moi les démos que je connais (faites grosso modo "à la main") c'est pour l'intégrale, une majoration par M et une minoration par M-epsiolone sur un intervalle comprenant c/ f(c)=M ect...
    et pour la somme, je mets juste en facteur le sup des xi et petit calcul de limites...

    merci encore de ta réponse
  • La démo que je connais est la même que la tienne, sauf que la théorie préalable permet de se placer directement dans un contexte beaucoup plus général.
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