Réciproque du Th de Pythagore

ricco45

Bonjour à tous, en cherchant un peu dans les post du Forum, lecams64 a proposé une démonstration avec des outils niveau collège de la réciproque du théorème de Pythagore, je me permets de la reprendre :

"voici la demonstration :
ABC est un triangle tel que BC²=AC²+AB²
Je construis le point A' tel que A'BC soit rectangle en A' et A'B = AB.
le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle A'BC permet d'écrire que :
BC²=A'B² + A'C²
On en déduit alors que A'C=AC
Par conséquent on a A'B=AB et A'C=AC
Donc A' appartient au cercle de centre B et de rayon AB et au cercle de centre C et de rayon AC.
Donc A' est le point A ou A' est le symétrique de A par rapport à (BC).
Dans les deux cas on déduit que ABC est rectangle en A"

Pour moi le problème vient du fait qu'il dit construire LE point A' tel que A'BC soit rectangle en A' et A'B = AB.
A ce stade le triangle ABC n'est pas censé être rectangle... donc il y a deux points A' qui peuvent être construits.

Est-ce que vous pouvez éclairer ma lenterne SVP ?

Ricco.

Plus généralement je cherche des démonstrations niveau collège de la réciproque du théorème de Pythagore, si vous en connaissez d'autre n'hésitez pas.

Bruno

Bonjour Ricco.

Au lieu d'écrire "le" point $A'$, il suffit d'écrire "un" point $A'$. Ce qui n'est pas clair, c'est de savoir s'il existe un tel point. Ceci suppose, me semble-t-il que l'on sache que l'ensemble des points $M$ tels que l'angle $\widehat{BMC}$ soit droit est le cercle de diamètre $[BC]$ privé des extrémités de ce diamètre. Puis que l'on sache quelques petites choses sur l'intersection de deux cercle.

Voici une autre proposition qui ne diffère guère de celle-ci mais évite l'usage des cercles..

Par hypothèse, on a un triangle $ABC$ vérifiant $BC^2 = BA^2 + AB^2$.

Par $A$ on mène la perpendiculaire~$\Delta$ à la droite $BA$. Sur $\Delta$ on considère un point $D$ vérifiant $AD = AC$. Le triangle $ADB$ est rectangle en $A$ et, d'après le théorème de Pythagore, $BD = BC$. Il s'ensuit que, si le point $D$ est distinct de $C$, la droite $(AB)$ est la médiatrice de $C$ et $D$. Donc $C \in (AD)$.

Cette démonstration n'utilise que les propriétés de la médiatrice et celles de la symétrie qui sont les premières connaissances élaborées de géométrie du collège.

Bruno

Domi

Bonjour à tous .

J'ai toujours trouvé que l'on cherchait bien loin une démonstration de cette réciproque . Soit $ABC$ un triangle tel que : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ . Considérons un triangle $A'B'C'$ rectangle en $A'$ avec $A'B' = AB$ et $A'C' = AC$ . D'après la propriété de Pythagore dans $A'B'C'$ , $B'C' = BC$ donc les triangles $A'B'C'$ et $ABC$ ont les même côtés et $ABC$ est rectangle .

Domi

Bruno

D'accord, simplement cela suppose que l'on connaisse le troisième cas d'égalité des triangles.

Ma construction évite cette connaissance puisqu'on construit le triangle que tu appelles $A'B'C'$ avec $A' = A$ et $B' = B$ et la construction est faite de façon à éviter le recours au cas d'égalité.

Bruno

(légèrement sur la défensive car à peu près d'accord avec toi.)

Domi

Bien sûr Bruno et c'est toute la difficulté de la géométrie au collège , certains résultats sont admis d'autres ( très peu ) sont démontrés . Il me semble qu'en général il est bon d'admettre les résultats que les élèves acceptent d'instinct ( deux triangles ayant les mêmes côtés sont superposables ) pour démontrer ceux qui sont moins naturels ( tout triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle ) . Je sais aussi que cette approche n'est sans doute pas celle qu'adopterait un mathématicien construisant une géométrie cohérente et que mon choix est sans doute très critiquable .

Domi

Bruno

N'ayant jamais enseigné en collège... Je m'incline :-)

Bruno

ricco45

Merci pour vos lumières.

Pour Bruno est-ce que cette démonstration (issue d'une très grande inspiration de la tienne ) est correcte :

"Soit ABC un triangle tel que : BC² = AB² + AC²
Soit (d) la perpendiculaire à la droite (AB) passant par A.
On considère un point D de la droite (d) vérifiant : AD = AC.
Le triangle ABD est rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore :
BD² = AB² + AD² or AD = AC,
Donc : BD² = AB² + AC²
D’où : BD² = BC²
Soit : BD = BC.
On en déduit que si le point D est distinct de C alors B appartient à la médiatrice du segment [CD].
De même, de l’égalité AD = AC, on en déduit que A appartient à la médiatrice du segment [CD].
Par conséquent (AB) est la médiatrice du segment [CD], c'est-à-dire l’axe de symétrie de l’unique symétrie échangeant C et D.
L’angle BÂC est donc droit comme image d’un angle droit par la symétrie d’axe (AB).
Le triangle BAC est donc rectangle en A"
Bruno, on suppose dans ta démonstration que D est distinct de C.
Faut-il préciser que :
Si D = C alors par construction, C appartient à la perpendiculaire à la droite (AB) passant par A, donc le triangle ABC est rectangle en A.

Pour Domi : Merci pour cette démonstration que je situe au niveau seconde puisqu'elle utilise les triangles isométriques. C'est vrai qu'elle est vraiment simple.

Patrix

Bonjour,

Sinon j'ai une toute autre idée pour démontrer la réciproque de Pythagore.

Grâce au théorème de Pythagore, on commence par démontrer le théorème de la médiane (c'est faisable niveau collège en introduisant un projeté orthogonal).

On considère ensuite un triangle ABC tel que AB^2 + AC^2 = BC^2 et on note I le milieu de [BC].

D'après le th de la médiane, on a :

2(AI^2) + (BC^2)/2 = AB^2 + AC^2 = BC^2.

On en déduit que AI = BC/2. Donc A appartient au cercle de diamètre [BC] et donc ABC est rectangle en A.

Eric

La projection orthogonale a été supprimée des programmes de collège (4ème en l'occurence), il y a déjà quelques années (avant 2000).

Patrix

Pour Eric : la suppression de la proj ortho n'est pas un pb.

Au lieu de dire "soit P le projeté orthogonal du point A sur la droite d ", on peut dire "soit P le pt d'intersection de d et de la perpendiculaire à d passant par A".

ricco45

Pour Patrix : Peux-tu me soumettre stp une esquisse de la démonstration du théorème de la médiane à l'aide de la projection.

Merci par avance.

Ricco.

Patrix

Démonstration du th de la médiane :

Soit MAB un triangle et I le milieu de [AB].
On va montrer que MA^2 + MB^2 = 2(MI^2 + AI^2).

On appelle P le proj ortho de M sur (AB). On se place ici dans le cas où P appartient à [AI] (les autres cas se traitent de manière presque semblable).

1) Montrer que MA^2 + MB^2 = 2(MP^2) + PA^2 + PB^2
2) Exprimer MP^2 en fonction de MI^2 et PI^2
3) Exprimer PA en fonction de AI et PI puis PB en fonction de AI et PI
4) Conclure

ricco45

Merci Patrix de m'avoir guidé pour cette démonstration.

Ricco.

Patrix

Une autre idée pour démonter le th de la médiane au niveau collège :

On munit le plan d'un repère orthonormé et on utilise la formule permettant d'exprimer la distance entre deux points en fonction de leurs coordonnées. Et on peut choisir le repère de sorte que certains points aient des coordonnées "simples" et ainsi alléger les calculs.

L'avantage de cette méthode est de ne pas avoir à traiter différents cas de figure. L'inconvénient est que cette démo et de niveau 3ème et non 4ème. La première démo que j'ai proposé utilise à un moment les identités remarquables (niveau 3ème) mais on peut très bien les introduire en 4ème sans trop "brusquer" les élèves.

ricco45

Ok, je viens d'écrire cette démonstration qui est particulèrement simple effectivement en choisissant un repère orthonormé adapté.

Petite remarque, on revient toujours au même point pour démontrer la réciproque du théorème de Pythagore :
Que ce soit pour la démonstration de Bruno ou les deux autres démonstrations que t'as proposé; au bout du compte on utilise à chaque fois ( de manière directe ou non ) le théorème de Pythagore.

Merci au tout cas pour ces 2 démonstrations.

Eric.

Bruno

Pour ricco45.

Rien à redire à la démonstration que tu as faite dans l'esprit de mon premier message. Si $D = C$, le triangle $ABC$ est évidemment rectangle en $A$. Mais pour parler de médiatrice, il faut, bien entendu que $D \neq C$.

Bruno

ricco45

Pour Bruno,

Je te remercie pour tes interventions sur ce post qui, comme d'habitude m'enrichissent.

Ricco.

stfj

On peut revisiter heureusement cette question d'OP en 2024 avec les triangles égaux. Soit donc un triangle $ABC$ avec $a=BC$(etc.) tel que $c²=a²+b²$. Soit le triangle rectangle en $C$ dont les côtés de l'angle droit mesurent $b$ et $a$. Alors son côté $c'$ est $c'=\sqrt{a^2+b^2}=c$.  Les deux triangles sont donc égaux, ayant leurs trois côtés égaux. Donc, dans  $ABC,\,\hat C=90°.\square$