Topologie faible (points de Lebesgue)

kilébo

Bonsoir,

J'ai deux questions à soumettre à votre perspicacité la première, comme le titre l'indique, concerne un résultat de topologie faible.

Comment prouvez que $sin(x)sin(nx) \rightharpoonup 0$ *-faiblement dans $L^{\infty}$ ? J'ai une piste celle d'utiliser le fait que les coefficients de fourrier tendent vers 0 mais j'aimerais que vous me confirmiez.

Autre question (j'en profite pour remercier de nouveau corentin qui m'avait répondu déjà à une question à ce sujet) sur les points de Lebesgue cette fois.

Quelle propriété doit vérifier la fonction pour s'assurer qu'elle possède p.p. des points de Lebesgue ? Le Rudin traite le cas des fonctions $L^1$. Or j'étudie en ce moment un cours dans lequel, on parle de la même conclusion pour une application $L^\infty$. Je dois avouer que cela m'a laisser perplexe pendant un bout de temps puis je me suis dit (à tord ?) qu'une fonction $L^\infty$ devait être $L_{loc}^1$ et que l'on doit pouvoir utiliser le théorème des points de Lebesgue dans ce cas là aussi car il s'agit d'un théorème où l'on utilise (apparemment) que des propriétés locales de l'application. Mais la démonstration utilise la densité des fonctions continues dans $L^1$ ce qui me fait douter de ma piste... Pouvez-vous m'aidez ?

Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de me répondre

Alban

Pour ta première question:
Si j'ai bien compris, tu considère $x \mapsto \sin(x) \sin(nx)$ comme un élément de $(L^1)^*$ et tu veux donc démontrer que pour tout $g \in L^1$, $\int g(x)\sin(x)\sin (nx)$ tend vers 0 quand $n \to \infty$.
C'est vrai: la transformée de Fourier d'une fonction dans $L^1$ tend vers 0 à l'infini.

skyrmion

Bonjour,

Pour ce qui concerne les points de Lebesgue, si $\mu$ est une mesure de Radon (mesure de Borel r\'eguli\`ere finie sur les compacts) sur $\mathbb{R}^n$ et $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^n,\mu)$ alors $$\lim_{r\to 0} \frac{1}{\mu(B(x,r))} \int_{B(x,r)} f \ d\mu =f(x),$$ pour $\mu$-pp $x\in\mathbb{R}^n$. (c'est le th\'eor\`eme de diff\'erentiation de Lebesgue-Besicovitch). ($B(x,r)$ d\'enote une boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$.)\\

On en d\'eduit que si $\mu$ est une mesure de Radon sur $\mathbb{R}^n$ et $f\in L^p_{loc}(\mathbb{R}^n,\mu)$, $1\leq p

skyrmion

A la derni\`ere ligne, lire, "comme tu le dis, on a bien $L\infty\subset\L^p_{loc}$, $1\leq p\infty$".

cordialement,

sk.

kilébo

Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses très éclairantes !

D'ailleurs, je vois que je partais sur une mauvaise piste qui était les séries de Fourrier alors qu'il s'agit de la transformée de Fourrier (rien qu'en le disant, j'ai honte car g n'est pas forcément périodique...).

Pour les points de Lebesgue, me voilà ravi d'avoir des détails que je n'avais pas (où qui m'avait échapé).

Merci encore.

corentin

Au sujet de la convergence faible de $sin(x)sin(nx)$, c'est une application directe du lemme de Riemann Lebesgue:
Si $f\in L^1$, alors $\int f(x)sin(nx)\longrightarrow 0$.
La preuve se fait par exemple en utilisant la densité des fonctions $C_c^1$ et en faisant une ipp.
Ou plus laborieusement, par densité des fonctions $C_c^0$. C'est plus instructif, on voit alors pourquoi les oscillations de $sin(nx)$ font tendre le tout vers $0$.