exponentielle et matrice

ADSJ0

Bonjour, je tourne en rond sur une petite question, de l'aide serait bien venue.

On pose $z=a+ib=re^{i\theta}$ et $A= \begin{pmatrix}
a & -b\\
b & a
\end{pmatrix}$.

On a alors $A= \exp \begin{pmatrix}
\ln r & -\theta\\
\theta & \ln r
\end{pmatrix}$.

Mon problème est de montrer que $\begin{pmatrix}
\ln r & -\theta\\
\theta & \ln r
\end{pmatrix}$ est un polynôme en $A$.

deufeufeu

ca a peu de chance de l'etre, prend $z = -1$, on a $a = -1, b= 0, \theta = \pi, \ln r = 0$ et comme $\pi$ est transcendant.

jean lismonde

bonjour

ta matrice ultime n'est pas un polynôme en A mais tout simplement la matrice antisymétrique constituée d'une part du logarithme du module et d'autre part de l'argument de ton nombre complexe z

il me semble que tu confonds avec le polynôme en A constitué par exp(A)

exp(A)=I.[r1.exp(r2) - r2.exp(r1)]/(r1 - r2) + A.[exp(r1) - exp(r2)]/(r1 - r2)

il s'agit d'un polynôme affine en A valable pour n'importe quelle matrice A de format 2x2

admettant deux valeurs propres r1 et r2 (I est la matrice unité 2x2)

ici r1=a + ib et r2= a- ib puisque la matrice A est antisymétrique

cordialement

ADSJ0

merci d'avoir répondu, j'ai en fait très mal formulé ma question.

Mon problème est le suivant. $A$ est une matrice diagonale dont les blocs sont des blocs de similittude directe donc de la forme $\begin{pmatrix}
a & -b\\
b & a
\end{pmatrix}$.\\

Si $z=a+ib=re^{i\theta}$, on a
$$\begin{pmatrix}
a & -b\\
b & a
\end{pmatrix}= \exp \begin{pmatrix}
\ln r & -\theta\\
\theta & \ln r
\end{pmatrix}$$.
Ainsi $A$ est l'exponentielle d'une matrice $B$, elle aussi constituée de blocs de similitudes directes.\\
Je voudrais montrer que $B$ est un polynôme en $A$.\\

Piste:\\
Notons $[z]$ la matrice de similitude associée à $z$.\\
$A=diag([z_1],...,[z_k])$. Il existe des complexes $t_i$ tels que $z_i=e^{t_i}$, et $A=\exp( diag([t_1],...,[t_k])$.\\
Prenons $P$ un polynôme interpolateur vérifiant pour tout $i$, $P(z_i)=e^{t_i}$.

J'aimerais dire que $P(A)=B^$, mais il me semble faux de dire que
$P( [z_i])=[P(z_i)]=[t_i]$...

ADSJ0

désolé je me suis embrouillé sur la fin, il fait trop chaud...
c'est $P(z_i)=t_i$.