L'ensemble des ensembles ?

Bonjour la famille...
J'aimerais savoir s'il est possible de définir l'ensemble de tous les ensembles.

Réponses

  • salut la famille !

    quelqu'un pourait il me donner la definition d'un referentiel en relativité generale ?

    amicalement...

    [Tu aurais pu garder le même pseudo et poser ta 2ème question, qui n'a aucun rapport avec la première, dans un nouveau sujet. AD]
  • Non considerer l'ensemble de tous les ensembles ammene a des contradictions.
    Par exemple si je dis soit $E$ l'ensemble de tous les ensembles
    J'en prend ensuite l'ensemble de ses parties, il est plus "gros" et pourtant il est contenu dans $E$ puisque par definition celui ci contient tous les ensembles. On arrive donc a une contradiction

    Mon exemple n'est pas rigoureux mais bon c'est comme ca que je vois l'inexistence de mon $E$
  • L'argument de ryo est le bon, mais il faut ajouter le fait qu'un ensemble ne peut etre element de lui meme, sinon on arrive au paradoxe du barbier;

    Max
  • Bonjour,
    paradoxe du barbier ?
  • Le paradoxe du Barbier :

    Un barbier rase uniquement tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes (ce qui est assez logique !!)


    Est-ce que le barbier se rase lui-même ??
  • Je l'ai déjà mis sur le forum, mais il vaut son pesant de moutarde.

    Bruno4860
  • Bonjour,
    Précisison pour Therence ( je sais c'est évident , mais j'en connais qui se sont laissés abuser): quand on parle d'ensemble c'est au sens de la théorie des ensembles en général ZF. C'est donc une construction très formalisée, non intuitive.Par exemple ,on ne peut pas parler de l'ensemble des élèves d'une classe, parce que la notion d'élève n'est pas trop formalisable...Mais je sens qu'il va y avoir des réactions là desssus.
    Amicalement.
    Jean-Louis.
  • Bonjour

    Max a dit "L'argument de ryo est le bon, mais il faut ajouter le fait qu'un ensemble ne peut etre element de lui meme, sinon on arrive au paradoxe du barbier"


    autrement dit si $\mathcal{F}$ designe l'ensemble de tous ces ensembles

    alors $\mathcal{F}=\{E$ ensemble $ E\notin E\}$


    si $\mathcal{F}\in \mathcal{F}$ alors $\mathcal{F}\notin \mathcal{F}$

    et

    si $\mathcal{F}\notin \mathcal{F}$ alors $\mathcal{F}\in \mathcal{F}$
  • Bonjour à tous

    Navré d'apporter quelques contradictions, c'est Said qui a attiré mon attention !

    Il ne faut pas croire que l'énoncé $\exists\,x \quad x \in x$ soit contradictoire; cette existence est niée par l'axiome de fondation :$$\forall\,x \quad (x \neq \varnothing) \Longrightarrow \big(\exists\,y \quad (y \in x) \wedge (y \cap x = \varnothing)\big). $$En effet, si $a \in a$, alors l'ensemble $\{a\}$ viole l'axiome de fondation.

    Le logicien polonais A. Mostovski avait montré que, si la théorie $ZF$ sans axiome de fondation avec un atome a un modèle, alors on pouvait construire un modèle de cette théorie niant l'axiome de choix (résultat partiel avant l'obtention du résultat définitif par Cohen).

    Quand à l'argumentation de ryo, elle peut paraître intuitive, mais elle repose sur l'idée qu'un ensemble ne peux pas avoir un élément de cardinal supérieur à lui-même (en supposant que l'on sache de quoi l'on parle pour le cardinal) ce qui est typiquement faux car $\{\N\}$ ne possède qu'un seul élément qui est un ensemble infini.

    Bruno
  • D'une manière formalisée, je ne vois même pas comment on peut définir un ensemble !
    Dans une démonstration formalisée, on aligne des phrases du langage de la théorie des ensembles produites par axiome ou démonstration. Nulle part il n'y a de définition.
    Donc la question, n'est pas très formalisable. Informellement on peut "définir" cette ensemble, c'est à dire introduire dans le langage une constante "T" et l'axiome (pour tout x)( x élément de T).
    Où je veux en venir, que définir et démontrer l'existence ou la non existance sont des choses différentes, je crois.
  • Arrêtez-moi si je me trompe;

    L'argument de Cantor est: Si E est l'ensemble de tous les ensembles, E contient ses parties, donc: $CardE\geqCardP(E)$; ce qui contredit le théorème de Cantor (Il n'existe pas de surjection de E sur P(E)).
    Historiquement, je crois que ceci est la première preuve de l'inexistence de l'ensemble de tous les ensembles, qui a poussé les mathématiciens à définir plus précisément la notion d'ensemble (Russel serait intervenu ultérieurement).

    Lorsqu'on définit un objet, on prouve, ou on suppose (nouvel axiome), qu'une propriété ne contredit pas les axiomes de la théorie.
    Démontrer l'existence serait un cas particulier de "définir", dans lequel la définition formelle des ensembles n'entrrerait pas...
  • Bonjour M M.

    Il y a encore confusion entre les relations d'appartenance et d'inclusion. Le cardinal n'a pas de propriétés vis à vis de l'appartenance. Si $E$ est l'ensemble de tous les ensembles, $P(E) \in E$ mais $P(E) \not\subset E$. Je doute que Cantor aurait commis une telle confusion.

    Bruno
  • Non, $P(E) \subset E$. Les éléments de $P(E)$ sont des ensembles. Par conséquent, on a l'inclusion ou alors je ne comprends pas une subtilité.
  • Exact, c'est moi qui n'ai pas vu la subtilité :-( Tous mes messages sont erronés.

    Bruno
  • Si le barbier est un homme du village, il doit se faire raser par lui-même, d'où contradiction. Mais si le barbier vient d'un autre patelin ou que le barbier est une femme, no problem ! :-)
  • Salut,

    Ce post tombe bien car je vais pouvoir te répondre
    Je suis en pleine lecture de :
    "Bourbaki Théorie des ensembles chapitre 1 à 4"
    Ce qui m'a enfin permis de piger pourquoi ce fameux ensemble n'existe pas.
    Il est vraiment très intéressant. Le seul problème c'est que maintenant
    dès qu'on me dit : "soit l'ensemble patacoufin" je me pose la question de savoir si c'est bien un ensemble.

    Pourquoi il n'existe pas "d'ensemble de tous les ensembles" (le super ensemble) ?

    La relation $x \in x$ (*) n'est pas collectivisante (ie il n'existe pas d'ensemble dont les éléments soit exactement ceux

    qui vérifient cette relation), en effet raisonnons par l'absurde et supposons l'existence d'un tel ensemble, notons-la $a$.

    On a donc $(\forall x)((x \not\in x) \Leftrightarrow (x \in a ))$. Alors la relation $(a \not\in a) \Leftrightarrow (a \in a

    )$ est vrai. Alors la méthode de disjonction de cas montre que l'on a la fois $a \in a$ et $a \not\in a$ ce qui est absurde.

    La méthode de disjonction de cas dit : si $A ou B$, $A \Rightarrow C$, $B \Rightarrow C$ sont vrais alors $C$ est vrais, où

    $A$, $B$ et $C$ sont des relations.

    De plus il y a un petit truc qui dit Si $P$ est une relation et $A$ un ensemble alors la relation $P et x \in A$ est

    collectivisante en $x. (ie il existe un ensemble dont les éléments sont exactement ceux qui vérifient cette relation)

    On voit donc que si le super ensemble existe alors toute relation est collectivisante, or la relation $x \not\in x$ n'est pas

    collectivisante.

    (*) le fait d'écrire $x \not\in x$ n'est pas absurde. Le but c'est seulement de savoir si cet assemblage de signe est une

    relation (oui) ou mieux un théorème.

    Voila pourquoi il n'existe pas de super ensemble j'espère avoir bien expliqué. Si ce n'est pas le cas ou si j'ai fais des

    erreurs dites le moi.
  • "Dans Topologie et analyse fonctionnelle" de Wagschal, c'est la même preuve que celle de coincoin.
  • Pour le barbier on peut lever le truc en disant quele barbier est barbu, du coup plus de paradoxe
  • Bonjour ryo,
    Si le barbier était barbu, il ne se raserait pas, donc se raserait par définition du barbier (c'est son métier).
    Dire que le barbier est une barbière, ou qu'il vient d'un village différent, revient à le faire entrer dans un autre "type de gens".
    On peut peut-être rapprocher ceci avec "la classe de tous les ensembles", qui n'est pas un ensemble.
  • Bonsoir,

    à propos de l'axiome de fondation. Je viens de relire le chapitre 1 du Schwartz d'analyse, et en énonçant cet axiome, il précise qu'on peut construire une théorie des ensembles sans cet axiome. Cela veut-il juste dire que cet axiome est indépendant logiquement des autres, ou bien que des gens se sont amusés à faire de la théorie des ensembles sans cet axiome et que ça donnait quand même des trucs intéressants?

    Manuel.
  • Bonjour Manuel.

    Cela signifie effectivement que l'axiome de fondation est indépendant des autres axiomes de la théorie des ensembles. Il me semble qu'on appelle théorie des ensembles de Zermelo les axiomes de ZF privée de l'axiome de fondation.

    Disons que la nécessité de cet axiome n'est pas apparente au premier abord. Intuitivement, on a tendance à faire une différence entre des objets et la collection de ceux-ci, donc la formule $a \in a$ n'a pas été envisagée tant qu'on n'a pas fait du formalisme pur et dur indépendamment de toute intuition.

    Ultérieurement, Mostowski a utilisé la théorie de Zermelo en adjoignant un atome (objet $a$ vérifiant $a = \{a\}$) pour construire un modèle dans lequel l'axiome de choix était nié (j'ai déjà cité ce travail précédemment dans ce sujet).

    Bruno
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