Un peu de Gourdon...
Encensé par le forum, je me suis procuré le livre dès la fin de mes oraux(!)
Cependant j'accroche un peu sur la démonstration de la dimension de l'ensemble des formes n-linéaires alternées sur un K-ev E de dimensoin n (p.135 pour les amateurs...)
En fait je comprends pas la ligne avec le (*) qui commence par f(x1,...,xN)=sum(...)=f(e1,...eN)*d°(x1,...xN)...
Quelqu'un pourrait il me commenter ces deux égalités?
Merci par avance pour votre aide...et bon dimanche
Cependant j'accroche un peu sur la démonstration de la dimension de l'ensemble des formes n-linéaires alternées sur un K-ev E de dimensoin n (p.135 pour les amateurs...)
En fait je comprends pas la ligne avec le (*) qui commence par f(x1,...,xN)=sum(...)=f(e1,...eN)*d°(x1,...xN)...
Quelqu'un pourrait il me commenter ces deux égalités?
Merci par avance pour votre aide...et bon dimanche
Réponses
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le point clé est que la condition "alternée" se traduit par $k \rightarrow i_k$ est une permutation sur $\{1,...,n\}$ pour que $f(e_{i_1},...,e_{i_n}) \neq 0$. Donc la somme sur tout les n-uplets se reduit à une somme sur tous les n-uplets correspondants à une permutation.
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Peut être que $d$ désigne le déterminant vu que le résultat est que tout forme $n$- linéaire alternée est proportionnelle au déterminant...
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euh je suis allé un peu vite, je vais detaillé l'egalité
par n-linearité on a
$$f(x_1,..,x_n) = \sum_{i_1,..,i_n} x_{1,i_1}, ..., x_{n,i_n} f(e_{i_1},...,e_{i_n})$$
puis avec la remarque sur le caractere alterné
$$f(x_1,...,x_n) = \sum_{\sigma \in \Sigma_n} x_{1,\sigma(1)},...,x_{n,\sigma(n)} f(e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)})$$
maintenant on a $d^\natural (x_1,...,x_n) = \sum_{\sigma \in \Sigma_n} \epsilon(\sigma) x_{1,\sigma(1)},...,x_{n,\sigma(n)}$, mais comme f est n-lineaire alternée on a de plus $f(e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)}) = \epsilon(\sigma) f(e_1,...,e_n)$, et pour finir $\epsilon(\sigma)^2 = 1$, donc en reprenant tout dans l'equation on a :
$$f(x_1,...,x_n) = \sum_{\sigma \in \Sigma_n} [\epsilon(\sigma) x_{1,\sigma(1)},...,x_{n,\sigma(n)}][\epsilon(\sigma) f(e_1,...,e_n)]$$
et donc $$f(x_1,...,x_n) = f(e_1,...,e_n) d^\natural(x_1,...,x_n)$$
Voila en esperant avoir été clair -
ben raté deufeufeu ;
en voulant etre clair et, malgré toi peut-être, concis, t'as fait une faute ; à l'avant-dernière ligne il fallait lire :
$$f(x_1,...,x_n)=\sum_{\sigma\in\Sigma_n}(x_{1,\sigma(1)}...x_{n,\sigma(n)})[\epsilon(\sigma)f(e_1,...,e_n)]$$
$$=\sum_{\sigma\in\Sigma_n}[\epsilon(\sigma)x_{1,\sigma(1)}...x_{n,\sigma(n)}]f(e_1,...,e_n)$$
$$=f(e_1,...,e_n)\sum_{\sigma\in\Sigma_n}[\epsilon(\sigma)x_{1,\sigma(1)}...x_{n,\sigma(n)}]$$
$$=f(e_1,...,e_n)det(x_1,...,x_n)$$
mais c'est pour le plaisir de te contredire
P.S.:comment aligne-t-on les égalités les unes sous les autres ? ("acolonne-t-on"?) -
on aligne comme ça (lire dans "code latex") :
<BR><P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><TABLE CELLPADDING="0" WIDTH="100%" ALIGN="CENTER"><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="103" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/16/93122/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle \newline f(x_1,...,x_n)=$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="270" HEIGHT="53" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/16/93122/cv/img2.png" ALT="$\displaystyle \sum_{\sigma\in\Sigma_n}(x_{1,\sigma(1)}...x_{n,\sigma(n)})[\epsilon(\sigma)f(e_1,...,e_n)]$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT"> </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="20" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/16/93122/cv/img3.png" ALT="$\displaystyle \newline =$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="258" HEIGHT="53" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/16/93122/cv/img4.png" ALT="$\displaystyle \sum_{\sigma\in\Sigma_n}[\epsilon(\sigma)x_{1,\sigma(1)}...x_{n,\sigma(n)}]f(e_1,...,e_n)$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT"> </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="20" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/16/93122/cv/img3.png" ALT="$\displaystyle \newline =$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="261" HEIGHT="53" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/16/93122/cv/img5.png" ALT="$\displaystyle f(e_1,...,e_n)\sum_{\sigma\in\Sigma_n}[\epsilon(\sigma)x_{1,\sigma(1)}...x_{n,\sigma(n)}]$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT"> </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="20" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/16/93122/cv/img3.png" ALT="$\displaystyle \newline =$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="178" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/16/93122/cv/img6.png" ALT="$\displaystyle f(e_1,...,e_n)det(x_1,...,x_n)
\newline$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT"> </TD></TR></TABLE></DIV><P></P> -
oui pardon il fallait lire $$f(x_1,...,x_n) = \sum_{\sigma \in \Sigma_n} [\epsilon(\sigma) x_{1,\sigma(1)},...,x_{n,\sigma(n)}][\epsilon(\sigma) f(e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)})]$$
-
et pis l'infinitif c'est , pas ;
quant à ta ponctuation, elle est un peu nulle, tu crois pas ?
Et un dernier mot sur la notation du déterminant : pourquoi un bécarre ? J'espère que c'est de Bourdon ; il m'est avis que l'introduction de simboles musicaux en mathématiques est révélatrice d'un orgueil déplacé : c'est en tout cas le message reçu par un ignare de la musique qui comme moi ne sait qu'à peine ce qu'est un bécarre ; il est humain de s'approprier les conceptions mathématiques (raisonnements, objets, ou fonctions en l'occurence) en les nommant ou les notant (ce qu'un ordinateur peut et doit) qui plus est en des termes les plus transparents possibles (ce qui est nécessaire pour que l'association signifiant/signifié soit faite de la même manière par le plus grand nombre possible de personnes) ; et transparent ne signifie pas familier, car familier restreint le nombre d'utilisateurs potentiels (même si après il faut se demander: transparent, oui, mais pour qui) ; mais tout ceci meriterait bien plus fine analyse, car ici sont à l'oeuvre des mécanismes plus complexes ; contentons-nous de fustiger le choix de Deufeufeu (ou de Bourdon) : malgré la bonne volonté qu'il met en avant, il ne cherche qu'à vérifier ses connaissances (bouh le vilain), à essayer des tas de trucs inutiles (genre : est-ce qu'il y a un bécarre sous latex ? oh chouette, ça marche !) , sans se soucier de perturber le pauvre léo qui a pas du chercher bien lontemps avant de poser la question sur le forum (c'était quand même assez simple), et c'est avec des gens comme lui (ou lui) qu'on noterait $\N$ l'ensemble des naturels, tout ça parce qu'on serait français, ou $\Z$ les entiers relatifs nur für die Deutschen weil sie zahlen...
à bon entendeur, salut
P.S. : C koi k't'as tapé pour avoir ton Bcarre ? -
oui mais je crois que non : je crois que ça sert à rien ton histoire de $\epsilon(\sigma)^2=1$
et pis ça embrouille -
merci bcp Aleg
-
alors ca c'est bien de la reflexion capillotractée, si j'ai repris la notation $d^\natural$ c'etait bien sur pour suivre Gourdon (et pas Bourdon). Aprés pour des raisons evidentes de respect, que ce soit de la question, ou des personnes qui interviennent sur ce forum, vos remarques sont deplacés.
Personne ici ne repond à ce genre de questions pour se faire mousser. Ayant le Gourdon juste devant moi au moment où la question a été posée, j'ai repondu vite pour aider leo. Je ne sais meme pas pourquoi je m'explique ici. Ce sont vos propos qui sont à remettre en cause.
Bref, s'inscrire sur ce forum, et baver dés le second message, ca fait desordre... -
en guise de conclusion je vais juste citer JY Girard, à propos des eternelles et stupides critiques sur la notation du Par en logique linéaire, qui est un & à l'envers (le plus proche en Latex de base est $\wp$).
Dans le dictionnaire à la fin de Locus Solum,
"Notations :
There is something interesting in the choice of notations in a new area.
Typically when I introduced linear logic, several alternative notations were
proposed~; it is to be remarked that the notation $+$ (or $\oplus$) occurred
several times as a substitute to $\wp$. My point against this was that you
cannot make an addition distribute over something, e.g., the additive
conjunction $&$ (that for some respectable reason one could note $\times$),
think of\\ $A + (B\times C) = (A +\times (A + C)$\etc
I was answered that
symbols are symbols and that one can use them freely~: one can call the table
\guill{horse} and the horse \guill{table}~! The refusal to give any special
status to essential mathematical features like distributivity betrays a
formalistic philosophy for which everything is arbitrary, nothing is more
important than another\etc
The tendency towards numerology is implicit in formalism, typically with the
abuse of coding~; however the people know what they are doing and what they
want to hide (usually something awfully \emph{ad hoc}). In the various
paralogics coming from so-called AI ---say the notorious abduction--- only
remains a formal incantation, in which formulas are treated as if they had some
esoteric, gnostic meaning. If many logical papers look like a religious
service, here we get dangerously close to the Black Mass.\\
If you look at the literature, you will find serious people that don't hesitate
at publishing pages of senseless code ---the telephone directory or worse--- as
if the ultimate meaning could be there, in symbols, or maybe as if there were
no meaning at all." -
ah mince il faut couper aprés "nothing is more than another" (la suite c'est la definition de numerologie)
-
oui oui, c'était pour discuter
désolé pour le désordre, mais moi j'aime bien
et merci pour la réponse
à demain -
a demain ?
-
je tenais cependant à souligner que Gourdon fait des choix que l'on peut discuter (la preuve) ; et si j'ai par ailleurs blessé quiconque, je m'en excuse ou attends ses témoins.
-
le propre d'un choix, est qu'il y a une question, une discution, en amont. Donc oui, on peut discuter de tout, mais il y a une grande difference entre de la discution et du vomi refroidi comme celui servi dans un vos precedents messages " malgré la bonne volonté qu'il met en avant, il ne cherche qu'à vérifier ses connaissances (bouh le vilain), à essayer des tas de trucs inutiles (genre : est-ce qu'il y a un bécarre sous latex ? oh chouette, ça marche !) , sans se soucier de perturber le pauvre léo qui a pas du chercher bien lontemps avant de poser la question sur le forum (c'était quand même assez simple), "
Franchement, quand on fait un caca, on le reconnait ! On va pas lui mettre un ruban autour et dire qu'on a juste voulu faire un cadeau un peu odorant... -
C'est un chapitre redouté au niveau de l'oral de l'agreg !
Pour votre question, j'ai fini par éviter le Gourdon car il y a souvent beaucoup de raccourcis ou de non-dits et comme par hasard c'est là-dessus que l'on va creuser ...
Mais là, il me semble qu'il n'y a pas de problème avec les notations (compliquées) Gourdon :
Avec la remarque 1 de la page de gauche puis la 3° ligne de cette démostration, cela paraît clair ...
Excusez-moi, c'est la première fois que je viens sur un forum de maths et je ne sais pas comment taper les maths : faut-il aller sur son propre logiciel, enregistrer puis copier ici ?
Bon courage !
Marie-Noëlle, une récente agrégée (déjà âgée par contre donc expérimentée) -
Pour taper des maths ? Il y a $\LaTeX$, comme signalé tout en bas de chaque fil.The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
-- Harris, Sidney J. -
Deufeufeu :
Ouhlala comme que vous l'avez mal pris.
bon, je l'ai peut-être mal dit : "bouh le vilain" c'était pour dire que je rigolais et qu'on fait tous des trucs comme ça, et pour vous charrier parce que vous répondez à plein de questions je trouve.
Mais d'avoir provoqué une réaction si violente me fait me poser des questions quant à ma manière de communiquer, sans doute (je ne suis pas un grand habitué des forums, même si cela n'excuse rien).
Je suis bien d'accord sur la platitude de mon propos concernant les choix de Gourdon ; je dirai donc franchement mon avis sur ce livre (puisque par des moyens détournés, cela donne lieu à une discussion sans fin) : c'est un bon outil pour les agrégatifs sérieux ou doués (ou inclusif), mais pour les autres, je trouve qu'il y a trop d'erreurs ou de choix discutables (je serai en l'occurrence très sévère avec la notation du déterminant) pour que l'outil soit réellement efficace, et quant à s'en servir pour une première approche des notions, je doute que ce ne soit catastrophique.
Mais j'ai sans doute tort ; le principal étant de se poser des questions, et d'en poser aux autres, sur les forums par exemple.
Sans rancune ? -
mouais... Il n'existe pas de livres parfaits. Il n'en etait pas question ici.
La question posée faisait reference à une page precise du Gourdon, je me suis donc referé aux notations presentes pour repondre. Maintenant j'avoue, je n'avais jamais lu cette page avant aujourd'hui. Cependant, le choix pedagogique de Gourdon n'est pas si stupide.
Il introduit dans un premier temps l'asymetrisé d'une forme n-lineaire, le fameux $\natural$ (\natural en Latex), puis il s'en sert pour faire apparaitre l'assymetrisé d'une certaine forme n-lineaire caracteristique d'une base, en montrant ensuite la dependance vis à vis de $d^\natural$ pour toute forme n-lineaire alternée, la notion de quantité "determinante" apparait naturellement.
L'autre methode consistant à directement appeler cela determinant, est peut etre moins barbare, mais je ne sais pas si elle ne donne pas une fausse idée du determinant, un peu parachutée. Aborder les definitions de sorte qu'on donne tout de suite de bonnes intuitions est un bon point pedagogiquement.
Enfin tout cela etant mon bien humble avis...
Pour en revenir à votre maniere de communiquer, si j'avais été en face de vous m'auriez vous directement repondu de la sorte ?
Au fait "quant à ta ponctuation, elle est un peu nulle, tu crois pas ?" je n'ai pas vraiment compris cette remarque. Mais etant assez peu doué pour la ponctuation...
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