Convergence d'une série.

Rouliane

Bonsoir,

J'essaye de montrer que la série de terme général $\displaystyle{\frac{ln(n)}{n^a}}$ , où $a>1$, converge.

Est-ce que je peux dire, sachant que a est strictement plus grand que 1, qu'il existe $\displaystyle{\epsilon}$ tel que $\displaystyle{\frac{ln(n)}{n^a}}$=$\displaystyle{o(\frac{1}{n^{a-\epsilon}})}$ et $\displaystyle{a-\epsilon >1}$ .

Or, la série de terme général $\displaystyle{\frac{1}{n^{a-\epsilon}}}$ converge car $\displaystyle{a-\epsilon >1}$ , donc la série de terme général $\displaystyle{\frac{ln(n)}{n^a}}$ converge.

J'ai l'impression que c'est juste, par contre j'ai du mal à rédiger ça correctement. ( notamment sur l'existence du $\epsilon$ )

Merci d'avance de votre aide,

Rouliane

Richard André-Jeannin

J'ai l'impression que vous vous compliquez la vie avec vos "o". Donnez simplement une majoration convenable de ln(n).

Rouliane

Je peux dire que, pour tout espilon strictement positif, $ln(n) \le n^{\epsilon}$, non ?

egoroff

Pourquoi ne pas choisir directement un $\varepsilon$ explicite en fonction de $a$ plutôt qu'un maladroit "il existe" (désolé) comme par exemple la moitié de la distance entre $a$ et 1 ?

Rouliane

Effectivement, je n'y avais pas pensé Egoroff, merci de votre aide .

majdi

Salut,
Tu peux aussi directement montrer que $u_n=\displaystyle{\frac{ln(n)} {n^\varepsilon}}$ tend vers $0$, où $\varepsilon >0$. Pour ce faire on considère $ln(u_n)$ qui tend vers moins l'infini (en factorisant par $ln(n)$) et on compose par l'exponentielle pour trouver la limite de la suite.
+

Rouliane

Majdi, vous utilisez ça pour montrer que $\displaystyle{\frac{ln(n)}{n^{a}}=o(\frac{1}{n^{a-\epsilon}})}$ , non ?

egoroff

De rien Rouliane. De manière générale quand il s'agit de choisir un exposant je liste toutes les contraintes, à la fin on se retrouve avec un intervalle, par exemple ici $0 < \varepsilon < a-1$, et tant qu'à faire je prends le milieu. Mais bon c'est une technique comme une autre !

egoroff

De rien Rouliane. De manière générale quand il s'agit de choisir un exposant je liste toutes les contraintes, à la fin on se retrouve avec un intervalle, par exemple ici $0 < \varepsilon < a-1$, et tant qu'à faire je prends le milieu. Mais bon c'est une technique comme une autre !

Rouliane

Je vais noter ça dans mes p'tites fiches parce que ça peut servir )

majdi

Oui l'implication est directe. Tu veux que je redige le tout ?

Rouliane

Non, Mejdi, car il me semble que c'est l'argument que j'utilise dans mon message initial, non ?

majdi

En fait Rouliane ton problème c'était surtout le epsilon et pas la relation de prépondérence, j'avais pas bien compris. Quoiqu'il en soit Egoroff a clairement répondu sur ce point. + (tu passes l'oral du capes ?)

Rouliane

Non, je ne passe pas l'oral du Capes, je bosse un peu car je veux passer l'agrégation l'année prochaine ( je dis bien passer hein )) pas avoir .... ) et je dois recommencer de la base.

En tout cas merci pour votre aide.