suite-integrale

racinedecheveux

Bonjour!
Peut-etre suis-je completement con mais je ne vois pas trop quoi faire....
Je souhaite etudier avec des suites:
$lim n\longrightarrow infty \int_{0}^{1}f^n(x)dx$
On suppose f de classe C1 voir C2 si on en a besoin
Je pose $I_n = \int_{0}^{1} f^n(x)dx$
une integration par partie me donne:
$I_n = [xf^n(x)] - \int_{0}^{1} xnf^{n-1}(x) dx$
et apparement je n'arrive pas à faire apparaitre $I_{n-1}$
Je considere donc $J_n = \int_{0}^{1} xf^n(x)dx$
et par IPP on obtient:
$J_n = [x \frac{f^{n+1}}{n+1}] - \int_{0}^{1} \frac{f^{n+1}(x)}{n+1}dx$
Donc j'obtiens: $I_n = f^n(1) - nJ_{n-1}$
$J_n= \frac{f^{n+1}(1)- I_{n+1}}{n+1}$
Mais apres je tourne en rond....
C'est peut-etre mon debut qui est faux; dans tous les cas je n'arrive à rien faire avec ces deux suites l'une dans l'autre
Quelqu'un de beaucoup plus competent aura surement une idee; peut-etre que le fait de considerer Jn n'est pas une astuce. Je n'en sais rien.
Merci de tout aide ou debut de reponse.

amicalement

Le Furet

Que désigne $f^n$ ? La dérivée $n$-ième ou la puissance $n$-ième ?

Qu'espères-tu démontrer au final ?

$f$ est une fonction quelconque ? Si oui, t'es-tu rendu compte que cette suite peut se comporter de façons tout à fait différentes suivant la fonction $f$ ?

racinedecheveux

Bonjour!
Oui en effet, manque de precision: $f^n$ designe la fonction à la puissance n;
et oui je me suis rendu compte que cette suite va se comporter semble t il de maniere tres differente suivant la fonction. Mais ca ne m'aide pas beaucoup.
L'idee de rajouter Jn est-elle bonne? peut on trouver une autre facon pour definir la suite un? J'ai entendu parler de resolution des suites par methode matricielle et par serie generatrice; mais je n'ai pas encore vu la methode; peut-etre ce serait la solution. alors des idees? merci d'avance.

amicalement

Le Barbu Rasé Pas Loggué

Exprimer Jn en fonction de I(n+1) ne me paraît pas bienvenu...

jctout

Mais ca n a aucun sens: suivant les fonctions, la limite peut etre 0 ou l infini donc je ne vois pas pq tu cherches un resultat general.

Parseval

Tout a fait, et on a même : $I_n^{\frac{1}{n}}$ -> sup f

Elvis2

Si je ne m'abuse, vous cherchiez à donner une expression simple de In en fonction de n et ensuite discuter l'existence éventuelle de limite.
Toujours est-il que dans vos intégrations par parties, vous oubliez chaque fois f': la dérivée de f**n est nf'f**(n-1). Ainsi donc votre expression de Jn est incorrecte (il manque f' sous le signe intégral). La relation qui lie In à Jn que vous avez écrite est néanmoins correcte pour la raison sus-mentionnée concernat vos intégrations par parties.
Vu le résultat classique donné par Parseval (post précédent), une généralisation n'est pas la bien venue et tout dépend de la fonction f.

Hugo_

Etudier deja le cas ou la fonction prend des valeurs en dessous de 1 en valeur absolue.

Elvis2

Par rapport à ce qu'a dit Hugo, dans le cas où le sup de f sur [0,1] est strictement plus petit que 1, on a la convergence de la série de terme général In et donc la suite (In) converge et admet zéro pour limite.

racinedecheveux

Bonjour!
D'accord; deja que je fais des fautes.... bah je me disais aussi qu'un tel calcul serait difficile du fait justement qu'on ne connait rien à f. Mais bon merci quand même des reponses.

amicalement

borde

Pour préciser le résultat de Parseval, on a : si $f$ est une fonction {\bf continue et positive} sur $[a,b]$, alors $$\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \int_{a}^{b} (f(t))^n \, dt \right )^{1/n} = \max_{a \leqslant x \leqslant b} f(x).$$

Borde.