Notation

kilébo

Bonsoir,

Que signifie précisement :
- $C(\Omega)$ ?
- $C(\overline{\Omega})$ ?
- $C(\overline{\Omega}) \cap C^2(\Omega)$ ?

J'ai le sentiment que la réponse n'est pas si triviale qu'elle en à l'air.

Cela me permettra de comprendre les hypothèses et conclusions de pas mal de théorèmes d'Analyse Fonctionnelle.

(Et cela sera un premier pas pour comprendre précisement, pourquoi $\mathcal{D}(\Omega)$ n'est en général pas dense dans $H^1(\Omega)$ alors que $\mathcal{D}(\overline{\Omega})$ l'est.)

J2L21

le premier, ce doit être si je me souviens bien les fonction continues à support contenu dans Oméga

kilébo

J2L2,

Merci pour ta réponse mais j'avoue être toujours aussi perplexe.

Peut-être dois-je préciser ma question. Quand on écrit $f \in C(\overline{\Omega}) \cap C^2(\Omega)$ quel est l'ensemble de définition de f ? $\Omega$, $\overline{\Omega}$ ou $\R^d$?

D'autre part quand je lis : "Il est clair que $C^1(\overline{\Omega})$ est un sous-espace de $H^1(\Omega)$", je ne peux m'empêcher d'avoir un grand moment de solitude car ça n'est absolument pas clair pour moi !!!

J'ai l'impression qu'il y a là dessous des considérations de restriction/prolongement. Mais c'est loin d'être clair pour moi. (Et apparemment, tous les bouquins et références que j'ai en ma possession ne prenne pas la peine d'éclaircir ce point. Sans doute est-ce évident... Mais rien à faire je bloque)

kilébo

PS : je précise que mon problème de savoir :
1) Quel est l'ensemble de définition de ces fonctions ?
2) Comment définit-on précisement la continuité sur un ensemble qui n'est pas un ouvert comme $\overline{\Omega}$ ?

Lebesgue0

Je ne vois pas le problème pour définir la continuité si l'ensemble de départ n'est pas ouvert, il s'agit de topologie induite. Dans le cas métrique :

$\forall x_0 \in A, \forall \varepsilon , \exists \alpha , \forall x \in B(x_0,\alpha) inter A, f(x) \in B(f(x_0), \varepsilon)$

Lebesgue

kilébo

Oups... Tu as raisons.

Je voulais parler de la difficulté vis à vis de la dérivation... A quoi correspondent les espaces $C^1(\overline{\Omega})$ et $\mathcal{D}(\overline{\Omega})$ ?

corentin

D'après moi, $\mathcal{C}(\Omega)$ est l'ensemble des fonctions continues définies sur $\Omega$. Il n'y a pas d'hypothèses de support là dedans.
Par exemple, $sin(\frac{1}{x})\in C(]0,1[)$, mais n'est évidemment pas dans $C([0,1])=C(\overline{]0,1[}$.
Par contre, quand on parle de $\mathcal{D}(\Omega)$, ce sont les fonctions continues à support compact dans $\Omega$.
Un exemple très simple au sujet des fonctions $H^1$: la fonction constante $1$ est évidemment $H^1(]0,1[$, mais elle n'est pas limite de fonctions $C_c^{\infty}$, puisque pour toute fonction $f\in C_c^{\infty}$, on a $\int f'^2\geq \int_0^1 |f'|dx$.
Un petit argument de bidouilleur (la fonction doit s'approcher de $1$ à un moment si on veut approcher en norme $H^1$ de $1$) permet de vérifier sans vraie difficulté que $\int |f'|\geq 1$ si on suppose que $f$ approche la fonction constante $1$.