Espace réflexif produit

kilébo

Bonjour,

Je bloque sur quelque chose qui paraît simple...

C'est tiré du Brézis.

Soit $I = ]a, b[$ et $1 < p < \infty$.

Brézis affirme (P. 121) que $E = L^p(I) \times L^p(I)$ est réflexif sans autre explication.

Je suppose, sans peine, que cela vient du fait que $L^p(I)$ est réflexif mais je n'arrive pas à conclure... C'est d'autant plus rageant que ça n'a pas l'air plus difficile que d'écrire la définition... Mais rien à faire, je tourne en rond...

Quelqu'un peut-il me donner un petit coup de pouce ?

kilébo

Un petit up...

corentin

Oups, j'avais laissé filer le sujet en pensant que quelqu'un répondrait.
Bon alors voila:
on montre que $(E\times F)'=E'\times F'$. En effet, toute forme linéaire s'écrit
$\phi(x,y)=\phi(x,0)+\phi(0,y)$, et comme il est clair que $x\longrightarrow\phi(x,0)$ définit une forme linéaire continue sur $E$, de même pour $\phi(0,y)$, on en conclut que toute forme linéaire sur $E\times F$ s'écrit $\alpha+\beta$ où $\alpha\in E'$ et $\beta \in F'$.

egoroff

Je pense qu'il reste quand même à vérifier que $J_{E \times F}=J_E \times J_F$ (où $J_G$ est l'injection canonique de $G$ dans $G''$).

corentin

Je ne crois pas, puisqu'en appliquant ma petite proposition on a directement
$(L^p\times L^p)''=(L^{p'}\times L^{p'})'=(L^{p'})'\times (L^{p'})' =L^p\times L^p$.
(bon, on va dire que mes égalités sont des isomorphismes au pire)

egoroff

Oui c'est ce que je me suis dit au départ.. mais en fait on sait qu'il existe des espaces isomorphes à leur bidual sans être réflexifs.

Yann

Exact. Un contre exemple est de 1956, dans un article de l'AMS. Il est exhibé un exemple d'espace non réflexif, mais isomorphe à son bidual.
J : E -> E'' (injection canonique) a un rôle particulier.