nombre d'orbites

deufeufeu a paris

Bonjour, voila j'ai un petit souci dans un calcul que je prend sur un livre, ma solution differe de celle du livre, et dans la mesure où c'est un devellopement que je compte presenter à l'agreg, j'aurais aimé avoir un avis exterieur.
Soit g une permutation sur un ensemble V de cardinal n, elle induit une permutation sur les parties de deux elements de V, qu'on notera E. On cherche, dans le cas où g est un produit de r transpositions disjointes, à calculer le nombre d'orbites de g sur E. Comme $g^2 = id$, les orbites sont de cardinal 1 ou 2. On denombre celle de cardinal 2. Une paire non fixé par g est necessairement de la forme a) deux elements pris dans deux transpositions disjointes, donc il y en a 2r(2r-2), ou b) un element dans une transposition et un element fixe par g, donc on en a 2r(n-2r).
En tout E contient $(\frac{n}{2})$ (le binomial n 2 - je ne me souviens plus de comment on le fait en Latex...) elements. On soustrait la moitié des elements fixé, cad vu le calcul precedent $r(n-2)$, et on trouve en tout $(\frac{n}{2}) - r(n-2)$ orbites de g sur E.
Or, mon livre donne $(\frac{n}{2}) - r(n-r-1)$ orbites.
Où est mon erreur s'il y en a une ?
Desolé si je ne suis pas clair dans mon explication (je n'ai pas l'impression de l'etre c'est pour ca )

loulmet

Bonjour,

J' ai effectué ce dénombrement en utilisant la " formule de Burnside", et j' ai obtenu un résultat analogue à celui indiqué dans votre livre.

"2 éléments pris dans 2 transpositions disjointes", il me semble que cela fait 2r(r-1) paires.

bosio frederic0

Personnellement, je calculerais le nombre de points fixes dans $E$, qui sont soit les paires sans element dans le support de $g$, soit les paries qui sont permutees par $g$, au total $N = (\frac{n-2r}{2}) + r$ paires. Le nombre d'orbites vaut donc $N + \frac{1}{2} (\# E - N)$ ou encore, je trouve, $\frac{1}{2}(n^2 - n) - r(n-r-1)$. A verifier.

Nicolas2

J'ai l'impression que tu fais une confusion entre les paires deux éléments (ordonnées) et les ensembles à deux éléments.
Dans ton premier dénombrement, tu considères les paires ordonnées alors que dans le deuxieme tu consideres les ensembles de deux éléments.

Bon courage pour l'agreg,

Nicolas

deufeufeu a paris

Oui effectivement, je devais être fatigué par ces révisions, parce que là, à tete reposée, je refais le bon calcul...
Pour info, c'est un résultat intermédiaire, le but global du développement étant de montrer que presque tout les graphes sont asymmétriques...