birapport

brux

bonjour,

je travaille sur un exercice sur la polaire d'un point par rapport à deux droites distinctes dans un plan affine.

Apparemment la correction utilise la propriété suivante. Si $\Delta_1$, $\Delta_2$ et $\Delta_3$ sont des droites fixées, il existe une unique droite $\Delta_4$ telle que $[\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3,\Delta_4]=-1$.

Est-ce vrai et pourquoi ? (c'est sans doute évident vu que le corrigé assène cela sans justification).

Merci pour votre aide.

brux

bon je viens de résoudre mon problème. Cela résulte directement de l'équivalence $[A,B,C,D]=[A,B,C,D'] \Leftrightarrow $D=D'$, pour
5 points alignés $A$, $B$, $C$, $D$ et $D'$.

pardon pour le dérangement,


brux

Alain Debreil

Bon je viens de résoudre mon problème. Cela résulte directement de l'équivalence $$ [A,B,C,D]=[A,B,C,D'] \quad \Leftrightarrow \quad D=D' $$ pour 5 points alignés $A,\ B,\ C,\ D,\ D'$.

Pardon pour le dérangement,
brux

Bruno

Bonjour Brux.

Quelle est la définition du birapport de quatre points alignés ?

Quelle est la définition du birapport de quatre droites concourantes ?

Bruno

brux

merci de me répondre Bruno. Poses-tu ces questions parce que j'ai dit une bêtise au-dessus ?

brux

lolo33

Bonjour,

J'ai l'impression que l'équivalence (correcte ) que tu as signalée ne suffit pas , il manque "la surjectivité" du birapport (ce qui est vrai aussi bien sûr).

lolo

brux

oui, je suis tout à fait d'accord avec toi lolo.

brux

Bruno

Non pas que tu aies a priori écrit une bétise, mais il y a des tas de façons de démontrer le résultat et elles dépendent des définitions de base.

Bruno

Mauricio4

Par dualite, cela revient a dire qu'etant fixe trois points il existe un unique point ayant un birapport fixe avec ces trois points. Envoie tes trois points sur 0,1,infini.
M.

brux

d'accord Bruno, je ne l'avais pas compris dans ce sens.

ma définition du birapport de 4 points alignés est

$[A,B,C,D]={\overline{CA}\over \overline{CB}}/{\overline{DA}\over \overline{DB}}$

Puis pour définir le birapport de quatre droites concourantes, on a démontré qu'étant donnée une droite variable $\Delta$ coupant ces 4 droites en 4 points $A$, $B$, $C$ et $D$, le birapport $[A,B,C,D]$ est constant et est appelé birapport des quatre droites.

Quelles sont les autres manières de définir ces deux notions ?

brux

Merci Mauricio pour ta réponse, mais mes connaissances en géométrie projective sont plus que lacunaires. Pour l'instant, je me contente de la géométrie affine qui me pose déjà bien des difficultés.

Bruno

Laisse tomber les autres façons de définir le birapport qui sont orientées vers la géométrie projective.

Par contre, si tu traces une parallèle $\mathcal D$ à $\Delta_3$ par un point $I_1\in \Delta_1$, la droite $\mathcal D$ coupe $\Delta _2$ en $I_2$ et la droite cherchée $\Delta_4$ coupe $\mathcal D$ au milieu du segment $[I_1I_2]$.

Cette caractérisation des faisceaux harmoniques découle de la démonstration que l'on a du te faire pour montrer la constance du birapport pour toute sécante à un faisceau de droites.

Bien entendu, si tu montres, comme tu l'as esquissé, que le birapport est une quasi bijection, tu as ton résultat dans l'abstraction.

Bruno

brux

oui, en effet Bruno, je crois avoir compris. Merci beaucoup !
<BR>
<BR>Tant que j'y suis, une petite question plus générale : je découvre en fait la notion de birapport et je ne vois pas encore bien à quoi elle est destinée, mais dans la mesure où il s'agit d'un invariant, j'imagine bien que cela puisse être utile par la suite, comme tous les invariants en maths. En revanche, je me demande ce que "représente" une division harmonique, ce qui justifie son introduction en géométrie.
<BR>
<BR>brux<BR>

brux

je me permets de rajouter une petite question. Etant donné trois points alignés $A$, $B$, $C$, si l'on veut construire $D$ tel que $[A,B,C,D]=-1$, il suffit, si j'ai bien compris, de construire trois sécantes passant par $A$, $B$ et $C$, de tracer une quatrième sécante en utilisant la méthode que tu viens de décrire et d'obtenir ainsi $D$. Est-ce ainsi que l'on s'y prend généralement pour construire le conjugué harmonique de trois points (je ne sais pas si cette appelation est correcte...) ?

brux

stfj

Bonjour,

Dans quel espace est-ce que je travaille ? Voilà la question qu'on devrait se poser avant de poser toute question mathématique, il me semble. Soit $E$ un plan vectoriel réel. Soit $\Delta_i$ les quatre droites vectorielles. Je doute qu'on puisse faire plus simple en 2024, n'est-ce pas ? Brux a oublié de parler de droites concourantes, semble -t-il.

Cordialement, Stéphane.

raoul.S

 Voilà la question qu'on devrait se poser...

Moi la question que je me pose est : à qui tu t'adresses en fait ? C'est une vraie question. brux n'est plus là depuis 2011 et Bruno ne fait malheureusement plus partie de ce monde. Si tu as des choses que tu estimes intéressantes à dire pourquoi ne pas ouvrir un fil au lieu de remonter des fils préhistoriques ?

Tu imagines si tous les membres du forum faisaient comme toi ? 

stfj

@raoul.S : bonjour. La notion de birapport m'intéresse. Il m'a semblé que ce fil était l'occasion d'en discuter. Par exemple, comme je l'ai signalé, la question du post original est mal posée puisqu'OP a omis de dire que les quatre droites considérées sont concourantes. Je pensais que cette remarque pourrait intéresser d'autres intervenants du site puisque la notion de birapport est souvent utilisée. On peut poursuivre en disant que pour tout $e_3\in \Delta_3, \exists  ! (e_1,e_2)\in \Delta_1\times \Delta_2, \, e_3=e_1+e_2$. Puis il existe un unique $\rho$ indépendant de $(e_1,e_2)$ tel que $\rho e_1+e_2\in \Delta_4$. Ce nombre $\rho $ est appelé birapport de $\Delta_i$.

Cordialement, Stéphane.

raoul.S

Ok, bon. On n'est pas obligés d'être d'accord...

pappus

Bonjour

Pour voir si on a compris la notion de birapport, le mieux est encore de résoudre des problèmes qui les utilisent par exemple en s'intéressant à ce fil tout récent que j'ai ouvert (sans la moindre illusion d'ailleurs), nul besoin de remonter à 18 ans!

https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2338100/birapport#latest 

Amicalement

pappus