Rédaction rigoureuse

Candide

Bonjour,

je me demande comment rédiger rigoureusement l'intégration d'un o(f).
Exemple:
$ \int_{a}^{x} o((t-a)^n) dt = o((x-a)^{n+1})$

Introduire $ \varepsilon$ revient à majorer ce qui ne semble pas correct.
Toutefois, je n'ai pas d'autres idées.

Merci d'avance.

Aleg

bonjour candide,
s'agit-il de formuler le résultat ou de le démontrer ?
pour la formulation, la version suivante est suffisante pour les besoins courants :
si $f$ est de classe $C^1$ sur un intervalle $I$ contenant $a$ et si $f^{\prime }(x)=o((x-a)^n)$ au voisinage de $a$, alors $f(x)-f(a)=o((x-a)^{n+1})$. (et c'est encore valable en remplaçant $o$ par $O$).

Candide

Bonjour Aleg,

Merci pour ta réponse.

"... au voisinage de $a$, $ {\bf alors}$ ..."
c'est la rédaction rigoureuse de la démonstration qui m'intéresse.
C'est-à-dire ce qui se cache sous le mot $ {\bf alors}$.

Précisément, ce qui m'intéresse c'est le niveau de rigueur attendu au Capes ou à l'Agreg lors d'une telle rédaction.
Avoir le droit de &quotbalancer" le résultat ainsi est aussi une réponse possible qui me conviendrait ;-)

Cordialement.

bisam

Il suffit d'utiliser l'inégalité des accroissements finis et la défintion des $o((x-a)^n)$ avec des $\epsilon$.

Aleg

Voici une démonstration très très élémentaire et suffisamment détaillée du résultat que j'ai énoncé plus haut ; j'espère qu'elle est juste...
(nb : comme on peut toujours se ramener au cas $a=0$, on s'est donc placé dans ce cas par commodité).



Soit $\varepsilon >0$ arbitraire : l'hypothèse $f^{\prime }(t)=o(t^n)$ entraîne l'existence d'un voisinage $V$ de $0$ sur lequel $\left| f^{\prime }(t)\right| \leq \varepsilon (n+1)\left| t^{n}\right| $.
Par ailleurs, on vérifie facilement que, pour $n\in \mathbb{N}$, l'application
\begin{equation*}
h:x\mapsto \left\{
\begin{array}{l}
x^{n+1}\text{ si }x\geq 0 \\
-\left| x^{n+1}\right| \text{ si }x\leq 0
\end{array}
\right.
\end{equation*}
est continue et d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}$, de d\'{e}riv\'{e}e $h^{\prime }(x)=(n+1)\left| x^{n}\right| $.

Puisque $f^{\prime }$ est continue, on peut \'{e}crire que
\begin{equation*}
f(x)-f(0)=\int_{0}^{x}f^{\prime }(t)dt
\end{equation*}
d'o\`{u}, pour $x\geq 0$ dans $V$,
\begin{equation*}
\left| f(x)-f(0)\right| \leq \int_{0}^{x}\left| f^{\prime }(t)\right| dt\leq
\varepsilon \int_{0}^{x}(n+1)\left| t^{n}\right| dt=\varepsilon
h(x)=\varepsilon \left| x^{n+1}\right|
\end{equation*}
et de m\^{e}me, pour $x\leq 0$ dans $V$,
\begin{equation*}
\left| f(x)-f(0)\right| \leq \int_{x}^{0}\left| f^{\prime }(t)\right| dt\leq
\varepsilon \int_{x}^{0}(n+1)\left| t^{n}\right| dt=-\varepsilon
h(x)=\varepsilon \left| x^{n+1}\right|
\end{equation*}
Ainsi $\left| f(x)-f(0)\right| \leq \varepsilon \left| x^{n+1}\right| $ pour $x\in V$, ie $f(x)-f(0)=o(x^{n+1})$.

Candide

Merci beaucoup Aleg.

C'est exactement la démonstration que j'attendais.
J'avais essayé en introduisant $ \varepsilon$ de la définition mais je n'arrivais pas à conclure...
J'aurai moins d'états d'âme à indiquer juste le résultat maintenant que je connais ce qu'il y a derrière.

Cordialement.