Théorème des points de Lebesgue

kilébo

Bonjour,

Je suis entrain de me refaire une santé sur l'analyse concernant les EDP à partir d'un poly de Paris VI et une démonstration utilise le théorème des points de Lebesgue et indique de se reporter au Rudin pour plus d'explication.

Est-ce que quelqu'un peut m'indiquer quel est ce théorème et où puis-je le trouver dans le Rudin que je possède : J'ai cherché sans succès. (Mais peut-être que je ne cherche pas dans le bon car j'ai cherché dans Analyse réelle et Complexe).

Merci d'avance.

corentin

Le théorème des points de Lebesgue dit que pour une fonction $L^1_{loc}$, on a $\lim_r \frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}f(y)dy=f(x)\ p.p.$.
C'est pas franchement simple à prouver, et Rudin le fait (et même un peu mieux) dans son chapitre sur la différentiation. (je sais plus où c'est, ça doit être genre après Radon Nykodim)

kilébo

Merci corentin !

Je regarderais ça ce soir une fois rentré à la maison...

egoroff

Le théorème est plus intuitif dans sa forme "géométrique" plus faible : si $A \subset \R^d$ est mesurable, on définit sa densité en $x \in \R^d$ par $\lim_{\varepsilon \to 0} \dfrac{\lambda^d(B(x,\varepsilon) \cap A)}{\lambda^d(B(x,\varepsilon))}$. Par exemple $\Q^d$ est partout de densité nulle. Le théorème dit alors que la densité est presque partout égale à l'indicatrice de $A$.