Somme de ch(x)

Rouliane

Bonsoir,

Pourriez-vous me donner un indice pour continuer le calcul de sommes suivant :

J'ai déjà calculé la somme S1=1+ch(x)+ch(2x)+.......+ch(nx) et S2=sh(x)+sh(2x)+.......+sh(nx) et on me demandre d'en déduire les sommes suivantes :

S3=1+ch²(x)+ch²(2x)+.......+ch²(nx) et S4=sh²(x)+sh²(2x)+.......+sh²(nx) , mais je n'arrive pas à trouver l'astuce ( j'ai essayé en additionnant ou soustrayant les sommes, mais je trouve pas.)

Merci de votre aide,

Rouliane

Anselme-Olivier

Linéarisez...

Rouliane

Mais j'avais pensé à ça aussi, mais si je linéarise le ch²(x), j'obtiens [1+ch(2x)]/2.
Et si je linéarise ch²(2x), j'obtiens [1+ch(4x)]/2
Je peux faire ça jusque ch²(nx), mais le problème c'est qu'en additionnant tous ces terme, je n'aurais pas les terme en ch(3x), ch(5x) de ma somme S1. ( Je ne sais pas si c'est tres clair ce que je dis)

Anselme-Olivier

Cela revient à faire une somme d'exponentielles.
Somme de e^{2kx} = somme de (e^{2x})^k ...
S4 moins S3 s'écrit simplement, de même que S4 plus S3 ...

Zidane

S_3-S_4=1+n
S_3+S_4=1+ch(2x)+ch(4x)+...+ch(2nx)=(série géom...)=connue

==>

S3=(1+n+connue)/2 et S4=(connue-n-1)/2

(:-)-<--<
Zidane

Alain Debreil

Bonsoir Rouliane

Tu remarques que (formules hyperboliques)
$S_3-S_4=n+1$ et
$S_3+S_4=1 + \cosh(2x)+\ldots+\cosh(2nx)$ qui est la partie paire de la fonction
$f(x)= 1+e^{2x}+\ldots+e^{2nx} = \frac{e^{2(n+1)x}-1}{e^{2x}-1}$
Tu en déduis $S_3+S_4 = \frac{1}{2}\big(f(x)+f(-x)\big)$

Si l'argument de partie paire ... ne te convainct pas, alors tu développes $\cosh y = \frac{1}{2}(e^y+e^{-y})$ pour retrouver 2 sommes géométriques en $e^{2x}$ et $e^{-2x}$.

Alain

Rouliane

Merci à vous !!

J'avais pensé à faire S3+S4 et S4-S3, mais pas à utiliser les 2 résultats pour retrouver S4 et S3.

Bonne nuit, je vais me coucher
Rouliane

[Tu es en avance Rouliane, je croyais que tu bossais de 00h à 03h ? ) AD]

Rouliane

lol AD ))

Evidemment, ceci n'est valable que lorsque j'ai décidé de bosser :-) ( assez rare en ce moment ) .... Je ne bosse pas toutes les nuits, puis ce matin je commençais à 6h du mat