Distance, norme et diamètre

Rouliane

Bonsoir,

Je suis en train de voir les espaces metriques, et il y a deux petites questions que j'aurais à vous poser :

1°) Est ce que l'on exprime toujours une distance à partir d'une norme ( exemple : d(x,y)=||x-y|| ) ? En gros, peut-on définir une distance dans un EV non normé ?

2°) Pourriez vous me donner un exemple d'espace métrique pour lequel le diamètre est infini ? ( $\R$ muni du produit scalaire ? )

Merci,

Rouliane

corentin

1) Non, on a des contre exemples très simples et parachutés: par exemple la distance $d(x,y)=1$ si $x\neq y$.
Il y en a aussi qui sont naturels mais plus compliqués, par exemple si tu connais la topologie des fonctions holomorphes, elle est métrisable et non normable.
2) $\R$ convient évidemment.

Rouliane

Je voulais dire $\R$ muni de la valeur absolue ..

corentin

Produit scalaire, c'est valeur absolue en langage pédant... donc il n'y avait pas d'erreur dans ce que tu as dit non?

Rouliane

Merci Corentin pour ta réponse.
<BR>
<BR>
<BR>Je ne connais rien du tout sur les fonctions holomorphes, j'essaierais de me pencher dessus en temps voulu.
<BR>
<BR>Pour revenir à ton contre exemple, d'où vient-il ? ( Par exemple, ai-je le droit de définir une distance par d(x,y)=2 pour x différent de y ? )
<BR>
<BR>Rouliane<BR>

corentin

Oui oui (tu peux vérifier sans problème les axiomes)... si je ne raconte pas n'importe quoi c'est juste la distance associée à la topologie débile où même les singletons sont des ouverts.

Rouliane

"Produit scalaire, c'est valeur absolue en langage pédant... donc il n'y avait pas d'erreur dans ce que tu as dit non?"
<BR>
<BR>mais comment définies-tu alors ton produit scalaire ?
<BR>|x|=<x,x> ?<BR>

Rouliane

Il manque la racine carré ( non apparue avec Latex ( )

Merci pour ta réponse précédente .

corentin

C'est le produit scalaire de $\R^n$... pour $n=1$.
C'est à dire $\sqrt{x^2}=|x|$.