exo suites

skyskoficateur

soit Un une suite reele positive decroissante vers 0

soit A={l'ensemble des suites complexes Vn /
qq soit n Vn#0,
sigma(Un*Vn)=0,
sigma(Un/Vn)=0}

je dois montrer que l'ensemble A est contenu dans l'ensemble des suites imaginaires.

merci de votre aide et desole pour les notations moches(sans latex)

skyskoficateur

j'ai oublie un detail
le module de Vn est decroissant et tend vers 0

Yalcin

Bonjour

J'aurais besoin d'un peu d'aide sur cet exercice :

Soit $\displaystyle{U_n}$ une suite réelle positive décroissante ( convergente ? )vers 0.

Soit $\displaystyle{A = \left\{ {{\text{l'ensemble des suites complexes }}V_n |\forall n \in {\Bbb N},V_n \ne 0,\sum {U_n V_n = 0} ,\sum {\frac{{U_n }}{{V_n }} = 0} } \right\}}$.

Je dois montrer que l'ensemble $\displaystyle{A}$ est contenu dans l'ensemble des suites imaginaires.

Merci pour votre réponse

Cordialement Yalcin

skyskoficateur

oui Un converge vers 0
et le module de Vn est decroissant et converge vers 0
merci beaucoup Yalcin

Domi

Je suppose que les deux sommes sont prises pour $n$ allant de zéro à l'infini .
$$\sum_{n=0}^{\infty}U_nV_n = 0$$
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{U_n}{V_n} = 0$$
Domi

skyskoficateur

oui

Yalcin

Ajouter à mon message précédent :
La suite $\left| {V_n } \right|$ est décroissante et converge vers $0$.

Meric à toi modérateur

Cordialement Yalcin

skyskoficateur

et Un strictement positive et strictement decroissante et converge vers 0
merci au forum

Domi

Ce qui est bizarre dans ton résultat c'est que si $v_n \in A$ , $iv_n$ aussi ce qui contredit ta conclusion .

Domi

skyskoficateur

bien vu Domi
et si on oublie ma mauvaise conclusion qq on peut dire de A?

Domi

Je ne sais pas si on peut dire grand chose de l'ensemble $A$ en général à part qu'il est stable par multiplication par un scalaire . Il a l'air de dépendre sérieusement de la suite $u_n$ choisie . La suite$|v_n|$ si elle existe ne doit pas décroître trop vite en tout cas moins vite que $u_n$ à cause de :
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u_n}{v_n}=0$$
Tout celà ne nous avance pas beaucoup .

Domi

skyskoficateur

Bonjour,
j'ai continue sur cet exercice tt seul et j'ai qq hypotheses a vous passer:

* si on suppose que le module de Vn est strictement decroissant convergeant vers 0 alors l'ensemble A est vide.
* si on ne suppose pas le dernier element alors A est inclu dans l'ensemble des suites complexes tq le module de Vn est constant a partir d'un certain rang

Domi

Bonjour skyskoficateur .

Je ne suis pas convaincu du tout pour les deux cas que tu évoques .

Pour le premier point par exemple , on pourrait considérer :

$u_n = \frac{1}{n^2}$ et $v_n = \frac{(-1)^n}{n}$ pour $n \geq 1$ .

Alors les séries :

$$\sum_{i=1}^{\infty}u_nv_n \ et \ \sum_{i=1}^{\infty}\frac{u_n}{v_n}$$

sont convergentes et on doit pouvoir choisir $u_0$ et $v_0$ pour que :

$$\sum_{i=0}^{\infty}u_nv_n = \sum_{i=1}^{\infty}\frac{u_n}{v_n} = 0 $$

Donc $A$ n'est pas nécessairement vide . Tout celà reste donc peu clair .

Domi