Premiers entre eux ?

skyrmion

Bonjour,


Je suis en train de ranger quelques feuilles calculs et je suis retomber sur ce &quotpetit exercice" dont je ne connais toujours pas la r\'eponse :

Soit $p$ et $q$ deux nombres premiers. On pose
$$a=\frac{p^q-1}{p-1} \ \ \ \ b=\frac{q^p-1}{q-1}$$

Bien sur $a$ et $b$ sont des entiers, mais que vaut $pgcd(a,b)$?

(On aurait envie de dire que $pgcd(a,b)=1$ lorsque que l'on regarde les premieres valeurs de $p$ et $q$ mais de la a ecrire une preuve...)



cordialement,

jn.

Yalcin

je confirme par calcul que c'est vraie
Bezout peut t'aider peut être

zig2

Je serais bêtement parti sur l'écriture :

$$a=\frac{p^q-1}{p-1}=1+p+p^2+...+p^{q-1}$$
et
$$b=\frac{q^p-1}{q-1}=1+q+q^2+...+q^{p-1}$$

mais sans bien voir quoi faire de ça...

Au cas où...

bosio frederic0

Si on ne suppose pas p et q distincts, je suis sur que non. De toute facon, cela me surprendrais (mais je dis cela comme ca).

Toto.le.zero

Ton résultat est faux en général :

Prendre p=17 et q=3313

Les deux entiers a et b en question ont pour facteur commun 112643.

Ce contre exemple a été trouvé par Stephens dans les années 70 et est venu infirmer une hypothèse formulée par Feit et Thompson, résultat malheureux car il aurait permis sans cela de simplifier la preuve d'un grand théorème en théorie des groupes dû à Feit et Thompson eux mêmes.

Domi

Toto.le.zero ,

j'ai trouvé moi aussi le sujet vraiment ardu et j'ai très vite abandonné , c'est pas humain ces questions ( je n'essaierai même pas de vérifier ton contre-exemple ) .

On n'est pas des bêtes .

Domi

En espérant ne pas avoir dit trop de conneries.