isometries du cube

abed

Bonjour,
Je lis dans Audin "geometrie" que si on inscrit 2 tetraedres dans un cube (les 6 arretes du tetraedre etant 6 diagonales de chaque face) alors une isometrie du cube envoie forcement un des 2 tetraedres dans un des 2 tetraedres.
Bon, qu'une isometrie envoie la diagonale d'une face sur une autre c'est clair, mais pour le reste j'ai du mal a voir.
Merci de votre aide

Bruno

Tu le vois là ? Les sommets désignés sont les sommets du cube. A noter que les arêtes d'intersecition des faces des deux tétraèdres sont les arêtes de l'octaèdre dual du cube.

Bruno

chris26

Le fait essentiel est qu'il n'y a que deux tels tétraèdres (et il est clair qu'une isométrie du cube envoie un des deux sur un des deux). Si un tétraèdre est envoyé sur lui-même, il reste à voir que l'isométrie est Id (si ton énoncé est correct). Ce dernier point devrait être pas trop dur.

oblooh0

Joli dessin Bruno, mais je ne crois pas que tu aies répondu à la question d'Abed, qui est de comprendre pourquoi une isométrie du cube envoie chacun de ces deux tétraèdres sur lui-même ou bien sur l'autre.

Bruno

Je pense que le dessin aide pas mal à résoudre la question. La géométrie ce n'est pas que de la théorie des groupes, c'est de la théorie des groupes et du dessin.

Chris a donné une ébauche, cependant il y a méprise : si une isométrie conserve le tétraèdre, elle conserve le cube et le second tétraèdre. Bref, le groupe du cube est le produit direct du groupe du tétraèdre par le groupe à deux éléments $Id$ et $-Id$.

Ceci dit, je me suis mépris sur "pour le reste j'ai du mal à voir".

Bruno

oblooh0

Bien vu chris, car une isométrie conserve les distances ce qu'on oublie trop souvent (!)...

Par contre si elle conserve un tétraèdre (globalement et non point par point), alors ce n'est pas forcément Id (prendre par ex. une rotation d'axe une hauteur du tétraèdre). Par contre la conservation point par point implique celle d'un repère affine et alors c'est bien Id.

oblooh0

Je ne connaissais pas cette version géométrique de $G \cong S_4 \times Z/2$, merci Bruno, tu mérites le mot de la fin !

Bruno

Ce n'est pas le but recherché. Surtout abed n'a plus donné signe de vie.

Bruno

chris26

En effet, j'ai mal lu la question. Une isométrie du cube transforme un des deux tétraèdres en un des deux tétraèdres mais n'envoie pas nécessairement l'un sur l'autre.
Comme le dit Bruno, les 48 isométries du cubes se partagent en deux catégories (de 24 éléments) : celles qui conservent globalement chaque tétraèdre, et celles qui les échangent.

oblooh0

Il doit être subjugué comme moi par cette révélation ! Sérieusement, je ne connaissais que la version algébrique. Combes lui-même ne donne pas de version géométrique...

oblooh0

Quelle cacophonie !

Bruno

Je serais étonné que cela ne traîne pas chez Berger.

Bruno

abed

Merci pour le dessin Bruno, mais effectivement je ne pense pas que ca aide a repondre a la question
On pourrait reformuler la question comme ca : si une isometrie du cube ne fixe pas un des tetraedres, alors elle est echange, mais comment le montrer ...
Pour ce qui est du Berger, j'ai pas vu grand chose la dessus

Bruno

Combien y a-t-il de tétraèdres inscrits dans un cube ? L'image de n'importe quel tétraèdre (régulier) par n'importe quelle isométrie peut-elle être autre chose qu'un tétrèdre (régulier) ?

Bruno

abed

Pour Chris, j'aimerais bien que tu detailles ton "il est clair qu'une isometrie envoie un des 2 tetraedres sur un des 2 tetraedres" car c'est justement ca que je n'arrive pas a voir
Si elle en fixe un, alors elle fixe l'autre puisque les 2 sont symetriques par rapport au centre du cube et que les isometries du cube commute avec la symetrie centrale
C'est donc l'autre partie qui me pose probleme

abed

Mea culpa
Tu as bien sur raison Bruno, c'est en fait tellement evident (et bien sur je n'y avais pas pense)
Merci a tous et desole pour mes questions stupides

Bruno

Il n'y a pas de question stupide, il n'y a que des évidences que l'on ne voit pas parce qu'on cherche midi à quatorze heures :-))

Bruno

Mauricio4

tres beau dessin, Bruno. est-ce que tu arrives a incrire les cubes dans le dodecaedre?
Sinon une bonne reference pour tous les polyedres c'est le livre de Klein sur l'icosaedre.
M.

Bruno

Je l'ai fait peut-être une fois, un seul des cubes inscrits dans un dodécaèdre, mais je ne suis pas arrivé à le rendre bien compréhensible. Par contre j'utilise l'existence d'un tel cube pour construire l'épure du dodécaèdre. Comme somme toutes je n'ai pas grand chose de mieux à faire tout de suite, je vais m'y mettre :-)

Bruno

Mauricio4

Bon courage.
M.

Bruno

Homme de peu de foi ! Pour bien faire, j'aurais du le projeter parallélement.

Bruno

Alain Debreil

Bonsoir
<BR>
<BR>Sinon, pour voir les isométries du cube d'un coté plus algébrique, il y a cette conversation récente :
<BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=296520&t=290329#reply_296520"&gt; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=296520&t=290329#reply_296520</a&gt;
<BR>
<BR>Alain<BR>