Burnside

Laurent24

Bonjour à tous !

Auriez-vous une idée d'application (ou de prolongement) du théorème suivant :
G est un sous-groupe fini de Gln(C) si et seulement si G est d'exposant fini.
Merci d'avance !!
Cordialement,

Laurent

fb0

Ca sent la leçon d'agrégation... On peut dire en remarque ce qui se passe si l'on ne suppose pas $G \subset GL_n(\C)$. Il existe des groupes infinis engendrés par un nombre fini d'éléments d'ordre fini : par exemple $\SL_2(\Z)$ ou le produit libre de deux groupes finis. Il existe aussi (mais c'est beaucoup plus dur) des groupes infinis dans lesquels tout élément est d'ordre fini, et on peut même prendre je crois le même exposant pour tous les éléments (Novikov). De toute façon une bonne référence est le bouquin d'Alessandri.

fb0

En ce qui concerne les résultats évoqués ci-dessus, voir à l'adresse suivante un historique intéressant du problème
<BR>
<BR><a href=" http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/PrintHT/Burnside_problem.html"&gt; http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/PrintHT/Burnside_problem.html</a><BR><BR><BR&gt;

Laurent24

Merci beaucoup pour ces informations ! En fait, je cherchais plutôt une application directe de ce théorème... c'est effectivement pour une leçon d'agreg ! Je ne suis pas convaincu que le théorème seul fasse un développement assez long !
Cordialement,

Laurent

fb0

Je n'ai plus tout en tête, mais je te conseille vraiment de regarder dans "Thèmes de géométrie" d'Alessandri... Bon courage.

PS : la formulation de ton théorème est bizarre, je dirais plutôt : si $G$ est un sous-groupe de $GL_n(\C)$ d'exposant fini, alors $G$ est fini.

Ben

Ca fait un développement, il suffit de ne pas se presser ...

chris26

Les éléments d'un tel groupe sont diagonalisables.
Dans une même base si G est commutatif.
On en déduit facilement le résultat suivant :
Un groupe fini est commutatif ssi toutes ses représentations irréductibles sont de degré 1.

Laurent24

Représentations irréductibles ? Quelqu'un peut-il m'éclairer... et me montrer la facilité de cette déduction !!

chris26

G groupe fini. E un C-espace vectoriel de dimension n.
Les homomorphismes de G dans GL(E) sont les représentations de G de degré n.
Une représentation $\sigma$ de G de degré n est irréductible lorsqu'elle ne laisse pas d'autre sev stable que E et $\{0\}$.
Pour une représentation donnée, le nombre et le degré des représentations irréductibles sont déterminés (à isomorphisme près).

Revenons au résultat que j'ai donné :
-Supposons G commutatif et $\sigma$ une rep de $G$. Alors $\sigma (G)$ est commutatif et est donc formé d'endomorphismes qui se diagonalisent dans une même base, c'est-à- dire que ces matrices laissent stable des droites vectorielles $D_1,...,D_n$ dont la somme directe est E. La représentation $\sigma$ n'est irréductible que si n=1.

-Réciproque : on prend une représentation "fidèle" de $G$ (i.e. telle que $G$ isomorphe à $\sigma (G)$ il y en a toujours (représentation régulière...)). Il suffit de prouver que $\sigma(G)$ est commutatif. Mais ses éléments laissent stables des droites $D_1,...,D_n$ dont la somme directe est E...bon t'a compris je pense.